高考复数热点考题分类解析(全文)

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复数是初等数学与高等数学的重要衔接点,每年高考都对复数问题有所涉及?郾本文对2009年全国各地高考复数试题进行分析,总结出其活跃在新高考中的几个热点题型如下?郾

一、概念型

这类题目主要考查复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数及共轭复数等概念?郾解这类题要求能正确理解和运用模、纯虚数、共轭复数等的概念,其中:

(1)共轭复数?圳实部相同、虚部互为相反数的两个复数;

(2)复数是实数?圳虚部为0;

(3)纯虚数?圳实部为0且虚部不为0?郾

例1 (2009年上海理科卷)若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数■=?摇?摇?郾

解析设z=a+bi,则(a+bi)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i,则a-b=1,a+b=-1.

解得a=0,b=-1?郾故z=-i,■=i?郾

点评本题主要考查复数的相等、共轭复数等基本概念,属于对基础知识的考查?郾

二、计算型

主要考查复数的运算法则,进行加、减、乘、除、乘方及开方等计算?郾在复数的计算中,熟悉常见的结论:(1±i)2=±2,(1-i)(1+i)=2,■=i,以及ω的性质等,往往能提高解题速度?郾

例2 (2009年天津文科卷)i是虚数单位,■=()

A?郾 1+2i B?郾 -1-2i C?郾 1-2i D?郾 -1+2i

解析 ■=■=2i-1?郾故选D?郾

点评本题主要考查复数的运算和复数的概念,着重考查复数的基本的除法运算?郾

三、方程型

解复数方程或求复数方程中的参数,通常是利用复数的性质以及复数相等的充要条件,将其转化为实数方程来解决?郾

例3 (2009年上海文科卷)已知复数z=a+bi(a、b∈R+)(i是虚数单位)是方程x2-4x+5=0的根?郾复数w=u+3i(u∈R)满足|w-z|

解析原方程的根为x1,2=2±i?郾

a、b∈R+, z=2+i?郾

|w-z|=|(u+3i)-(2+i)|=■

点评在复数方程中,一元二次方程的根与系数的关系仍然成立?郾本题主要考查复数方程、复数的模、不等式等基础知识?郾

四、交汇型

交汇型是指把复数和其他知识有机结合起来的问题,同时也包括复数自身内容的综合,它涉及模、共轭复数、复数的三角形式以及运算等?郾

例4 (2009年湖北理科卷)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为()

A?郾 ■ B?郾 ■ C?郾 ■ D?郾 ■

解析因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数,所以n2-m2=0,则m=n.两颗骰子点数相同只可以取1、2、…、6,共6种可能,所以p=■=■?郾故选C?郾

点评本题考查等可能事件的概率的求法,并综合了复数的基础知识,属于综合性比较强的题目?郾

五、创新型

例5 (2009年广东理科卷)设z是复数,a(z)表示满足zn=1的最小正整数n,则对虚数单位i,a(i)等于()

A?郾 8

B?郾 6

C?郾 4

D?郾 2

解析 a(i)=in=1,则最小正整数n为4?郾故选C?郾

点评本题考查新定义型问题,真正理解题意是解此类创新题的关键?郾

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