函数思想在解题中的应用

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【摘 要】在中学数学教学的过程中，方程和函数有着十分重要的战略地位，两者之间关系密切，在数学解题中能够发挥出十分重要的作用。本文在对函数概念进行介绍的基础上，对函数思想在解题中的应用进行深入的分析和探讨，以期为中学数学的解题提供一定的方法参考。

【关键词】函数思想；方程；不等式

在数学思想方法中，函数思想是其中十分重要的内容，在高中数学的学习中起到了至关重要的作用，函数代表的不仅仅是我们学习中抽象的理论知识，更反映出了自然界中量之间的依存和相互转化关系，函数明确的反映出了两个变量之间的关系，从某种意义上来说，函数就是将现有的已知条件转化为专业的数学语言，构造函数关系，再利用我们构造的函数关系来解决实际的问题。

1函数的概念

函数代表的是变量之间的关系，从变量的角度分析，函数可以阐述为两个变量x和y之间的关系，在x的某一取值范围内，y会随着x的变化呈现出规律化的变化，在这一对应关系中，因变量y就被称为是自变量x的函数，其表示形式为：y=f（x）。

函数有许多性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。将函数所具有的这些性质与其他的数学知识联系起来，可以帮助学生更好地学好数学，并利用函数的概念或者性质，快速且方便地解答数学问题。

2函数思想在解题中的应用

2.1以函数为载体，实现函数与方程、不等式之间的相互转化

函数与方程、不等式之间关系紧密，对函数的研究与应用依赖于不等式和方程，例如，在求函数的定义域和值域时，就是利用不等式知识进行求解的。证明函数单调性时，利用的也是不等式知识。同时，在进行方程和不等式的性质研究时，也需要函数思想的指导，这三者之间是密不可分的。例如在求解方程时，就相当于是在求函数f（x）的零点，在解题的过程中，要将学到的知识活学活用，注意不同知识间的交叉互换，培养自己的融汇交叉意识，从而对知识有一个整体的把握。

例1设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的筛x1、x2满足0

证明：根据题意可知，

x1、x2是方程f（x）-x=0的根，即x1、x2是ax2+（b-1）x+c=0的根，

ax2

由上题的解题过程可以看出，这是一道求解二次方程的根的分布区间的问题，解答这一类问题时，要将题目中给出的已知条件转化为二次函数f（x）-x=0求解的问题来解答，通过二次函数与二次方程之间的相互转化，构建简化的函数或方程形式，将其转化为我们熟悉的形式进行解答，这种解题方式可以很好的培养学生的函数转化思想，提高学生的解题能力。

2.2以函数为载体，促进函数与角的转化

在进行三角函数问题求解时，要将角的变化与函数值的变化紧密地联系起来。由于角与三角函数之间有着紧密的依存关系，因此，可以从函数的角度对角进行研究。

例2已知a>0，且a≠1，要使方程有解，则k的取值范围是多少。

通过对例题的分析我们可以发现，这一类方程的解题方法一般是将方程中包含的等式转换为不等式来求解，然后根据建立的不等式组有解这一解题条件，对k的取值进行讨论，从而求得k的取值范围。这一类题解题较为简便，但在解题的过程中容易忽略对k值的讨论，使得答案有所遗漏，在解题中充分的利用函数思想，就会使解题变得简单。

解：原方程可以等价为如下方程：

将上述方程再次等价为不等式组为

解出k为

令x=acosθ，θ∈（，0）∪（0，）

则

当θ∈（，0）时，

此时k

当θ∈（0，）时，

此时0

所以k的取值范围为k

3结语

函数作为中学数学中的重要教学内容，其在整个数学知识领域有着广泛的应用，其思维逻辑方式新颖，解法多样，因此也是历年考试的重点内容。通过对近年来高考试题的命题进行分析，函数在高考数学中占有非常大的比例，因此，灵活掌握函数的解题方法，学会知识的灵活运用，对于学生推理能力和论证能力的培养都有着重要的意义。

参考文献：

[1]黄炎哲.函数思想在解题中的应用[J].科教导刊.2016，02：124-125.

[2]何冬梅，赵国清.浅谈函数思想在解题中的应用[J].保山师专学报.2005，05：40-43.

作者简介：

喻继葳（1979.9～），女，汉族，四川省南部县，大学本科，中教一级，高中数学教育。