“握在手中”的中考题

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不难发现，许多中考数学题的背景知识正是取材于日常生活中，尤其是有关锐角三角函数的考题更是贴近生活，甚至是我们每天在学习时经常触摸的学习工具，比如圆规、三角板、铅笔、计算器等，可以说是“握在手中”的中考题。为方便同学们学习，现以2016年中考题为例说明如下。

例1 （山东烟台卷）下图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（ ）

A. 2 × cos 5 5 =

B. 2 cos 5 5 0 =

C. 2 cos 5 5 =

D. 2 5 5 cos =

分析 简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R-CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M-为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果。

解 利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是：，故应选C。

说明 本题主要考查利用计算器求锐角三角函数的值的方法，求解时要能熟悉数的开方的意义，明确计算器上各个功能键的作用，会根据按键顺序列出所要计算的式子。事实上，借助计算器这样的工具做题，既能锻炼同学们的动手能力，又能提高同学们的学习兴趣，有助于对知识的掌握和运用。

例2 （浙江丽水卷）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等。于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长。

请你运用所学的数学知识解决这个问题。

分析 由三角板各角的大小，结合题意，可先由正切的定义求出AC，再由正弦的定义求出CF，进而计算即可。

解 在RtABC中，BC=2，∠A=30°，由正切的定义，得AC=2，则EF=AC=2，∠E=45°，由正弦的定义，得FC=EF・sinE，AF=AC-FC=2。

说明 本题以司空见惯的一副三角板为背景，意在考查特殊角的三角函数值的应用。掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是顺利解题的关键。

例3 （浙江台州卷）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，如图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成如图2的ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由。（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

分析 依题意，为了方便求解，可通过作垂线构造出直角三角形，进而根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，再结合勾股定理得出答案。

解 他的这种坐姿不符合保护视力的要求。理由：如图2所示，过点B作BDAC于点D，BC=30cm，∠ACB=53°，由正弦的定义，得sin53°≈0.8，解得BD=24，再由余弦的定义，得cos53°≈0.6，解得DC=18，AD=22-18=4（cm），由勾股定理，得AB=

说明 此题主要考查了解直角三角形的应用，求解时需要通过对问题的理解，将其转化到直角三角形中来，根据题意得出BD，AD的长是解题关键。

例4 （江西卷）如图1是一副创意卡通圆规，如图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，已知OA=OB=10cm。

（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）

（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度。（结果精确到0.01cm）

（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511）

分析 （1）依题意，只需求出等腰三角形的底边AB即为求所作圆的半径，此时可过点O作OCAB，利用等腰三角形的性质，结合正弦的定义求解。（2）由题意可知在OB上找到一点E，使得AE=AB，而BE即为所求。此时，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交OB于点E，于是在等腰三角形ABE中仿照（1）的方法即可求解。

解 （1）如图，过点O作OCAB，OA=OB，OCAB，AC=BC，∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°，在RtAOC中，由正弦定义，得sin∠AOC=，AC≈0.1564×10=1.564，AB=2AC=3.128≈3.13，所作圆的半径是3.13cm。

（2）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交OB于点E，作ADBE于点D。AE=AB，ADBE，BD=ED，∠BAD=∠EAD=∠BAE。∠AOB=18°，OA=OB，AB=AE，∠BAE=18°，∠BAD=9°，在RtBAD 中，由正弦定x，得sin∠BAD=，BD≈0.1564×3.13≈0.4895，BE=2BD=0.979≈0.98，铅笔芯折断部分的长度约为0.98cm。

说明 解答完本题，同学们怎么也没有想到自己天天打交道的圆规，也被搬进了中考试卷中，而且题目设计新颖，值得我们在平时的学习中关注。