探索高考数学“创新”之路

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创新是一种突破，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力！21世纪需要的是具有创新意识、创新精神和创新能力的人才．作为选拔高素质人才的高考，创新题也是高考试题的新方向的一种尝试．纵观2008年高考数学试题，其创新源自哪里，“新”在何处，又去向何方呢？请与我一起探索“新”光大道，打开“新”结．

1 旧题翻新，知识不新

例1 （2008年湖南理10）设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2，［54］=1）．对于给定的n∈N*，定义Cxn=n(n-1)…(n-［x］+1)x(x-1)…(x-［x］+1),

x∈［1,+∞)，则当x∈［32,3)时，函数Cx8的值域是（）．

（A） ［163，28］ （B） ［163，56）

（C） （4，283）∪［28,56)

（D） （4，163］∪(283,28］

“新”光大道：当x=［32，2）时，［x］=1，

Cx8=8x∈(4,163］；当x∈［2,3)时，［x］=2，

Cx8=8×7x(x-1)∈(283,28］，故选（D）．

打开“新”结：此题“新定义”较多，且Cxn=n(n-1)…(n-［x］+1)x(x-1)…(x-［x］+1)的形式复杂，让人无从下手，仔细审题后可发现，因为x∈［32,3)，所以 ［x］=1或［x］=2，且n=8，所以 Cx8=8x或Cx8=8×7x(x-1)，于是题目转化成为求反比例函数和二次函数的值域，问题迎刃而解！

“新” 心相印：（2008年全国Ⅰ理10）若直线xa+yb=1通过点M（cosα,sinα)，则（）．

（A） a2+b2≤1 （B） a2+b2≥1

（C） 1a2+1b2≤1（D） 1a2+1b2≥1

创新提示：由条件cosαa+sinαb=1及选项中1a2+1b2的形式，很容易联想到柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，

因此：1a2+1b2=(1a2+1b2)(sin2α+cos2α)≥

(cosα2+sinαb)2=1.

2 情景创新，考验耐心

例2 （2008年湖北文10）如图1所示，“嫦娥

一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P

图1

点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a1+c1=a2+c2;

② a1-c1=a2-c2;

③ c1a2＞a1c2;

④ c1a1＜c2a2．

其中正确式子的序号是（）．

（A） ①③ （B） ②③

（C） ①④（D） ②④

“新”光大道：由于月球球心F位于椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的共同焦点上，点P到F的距离都是半长轴的长减去半焦距的长，即|PF|=a1-c1=a2-c2，因此②正确，①错误；因为椭圆轨道Ⅰ比椭圆轨道Ⅱ更“扁”，所以椭圆轨道Ⅰ的离心率比椭圆轨道Ⅱ的离心率更大，即 c1a1＞c2a2，故③正确，④错误．故选（B）．

打开“新”结：本题以今年的科技热点――“嫦娥一号”探月卫星为背景，以椭圆的基本性质为基础知识出题，情景非常新颖．但若仔细阅读题目，便发现这并不是一道难题，中等层次的学生都能较好地完成此题．因此排除干扰，读懂材料，理解出题者的意图并快速地转化为已学知识，是解决此类问题的关键．

“新”心相印：（2008年江苏10）将全体正整数排成三角形数阵：根据以下的排列规律，第n(n≥3)行从左向右的第3个数是．

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

创新提示：由数阵的排列规律可看出，第n行的最后一个数是1+2+…+n=n(n+1)2，因此所求的数为第n-1行的最后一个加3，即 n(n-1)2+3=n2-n+62 (n≥3).

3 思维创新，思路要清

图2

例3 （2008年重庆理9）如图2，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）．

（A） V1＞V2 （B） V2＜V2

（C） V1＞ V2（D） V1＜ V2

“新”光大道：显然每个小球的体积为V8，且没有3个以上的小球有共同部分，由此可联想到《集合》一章中的公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B),得V2=V-（4×V8-V1)，所以 V2=V2+V1，故选（D）．

打开“新”结：大部分考生看到此题的首先想到的考查所求部分的形状是怎样的，然后再利用球的体积公式去计算各部分的体积，这样便掉入了出题者设计的陷阱，费时费力，很难解出正确答案．但若深入分析选项便可发现，本题只需要找到V1和V2的关系，故可以从整体的角度，找出各个部分（无论图形的形状怎样）体积之间的关系，建立等式．这样既避开了繁琐的计算和极度抽象的空间思维，又能既准又快的得出答案．

“新”心相印：（2008年江西理16）如图3（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图3（2））．有下列四个命题：

图3

（A） 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

（B） 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

（C） 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

（D） 若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满

其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）

创新提示：由于图3（1）中没装水的部分与图3（2）中装有水的部分体积相同，因此该密闭容器恰好装有占总体积一半的水，故（D）正确；而图3（1）的下面部分镶嵌了装饰块，故P点的位置必然超过正四棱柱高的一半，（A）错误；将容器侧面水平放置时，由对称性可看出一半容积的水，其水面恰好过点P，（B）正确；将容器按图3（1）位置倾斜至装饰块刚露出水面时，由于图3（1）中P点位置高于正四棱柱高的一半，此时水面必在P点之上，所以（C）错误．故填（B）、（D）．

4 接轨创新，大学必经

例4 （2008年福建16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a,b∈P，都有a+b,a-b,ab,ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域；数集F={a+b2|a,b∈Q}也是数域．有下列命题：

① 整数集是数域；

② 若有理数集QM，则数集M必为数域；

③ 数域必为无限集；

④ 存在无穷多个数域．

其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号都填上）

“新”光大道：显然2∈Z,3∈Z,但23Z，所以①错误；设M=Q∪{2}，则 1+2M，所以②错误；③ 当a≠0时，若a∈P，则a+a=2a∈P,a+2a=3a∈P，……，所以P中的元素有无穷个，C正确；因为{a+b2|a,b∈Q}是数域，因此{a+b3|a,b∈Q}也是数域，……，以此类推，可得到无数个数域，④正确．故填③④．

打开“新”结：“数域”是大学教材《高等代数》中的重要内容，以此出题，旨在考查学生接受新信息的能力．作为概念题，如能准确理解定义，难度并不大，但容易考虑不周全．因此在充分理解题目的含义之后，需进行全面深入的分析，方能准确地得出结果．

“新”心相印：（2008年陕西12）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1} (i=0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0a1,h1=h0a2,运算规则为：00=0,01=1,10=1,11=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）．

（A） 11010（B） 01100

（C） 10111（D） 00011

创新提示：此题实质是对二进制运算的考查，这为大学计算机编程的基础．用代入法较为简单．C选项中，原信息的a0=0,a1=1,a2=1,h0=

a0a1=1,h1=h0a2=0，与选项中h1=1矛盾，故选（C）．

限于篇幅，这里只针对2008年高考数学创新试题进行了初探．对照分析便可发现，创新试题涉及高中各个章节的知识，并且大多以选择填空题的形式出现，难度不等．就题干内容而言，创新试题大多出现在“函数”、“数列”、“不等式”、“立体几何”等题目中，但几乎都是以情景导入为主，读懂题意并转化为已有知识是解决创新试题的关键．

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