VaR置信水平的修正方法及“上证指数”实证分析
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摘要：针对风险价值var的置信水平在真实分布与拟合分布下存在差异的问题，构建了修正因子对拟合分布下VaR的置信水平进行修正。利用Kolmogorov-Smirnov检验法得到拟合曲线对金融收益历史数据的拟合优度，并结合拟合分布对真实数据分布的估计偏差构建修正因子。通过对标准正态分布随机数的数值模拟和基于上证指数对数据收益率进行的实证分析，验证了所构建的修正因子的合理性。
Abstract： Confidence levels of Value at Risk（VaR） corresponding to the actual distribution and the fitting distribution is different， so a correction factor for modifying the confidence level of VaR is investigated. The correction factor is obtained by combining the goodness of fit and the estimation bias of a fitting distribution， where the goodness of fit proposed is based on Kolmogorov-Smirnov test. Its efficiency is confirmed by numerical simulation results on random numbers of standard normal distribution and the empirical analysis based on SSE composite index.
关键词：置信水平；VaR；拟合优度；修正因子
Key words： confidence level；value at risk；goodness of fit；correction factor
中图分类号：F832.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）19-0179-03
0 引言
风险管理在金融领域已经成为一个非常重要的课题，而风险价值VaR为特定的投资组合提供了很好的风险度量。VaR是指在市场的正常波动下，给定置信水平1-α，某一金融资产或者证券投资组合在未来特定的一段时间内可能发生的最大损失，从统计意义来讲，即损失X不超过VaR（α）的概率为P{X？燮VaR（α）}=1-α。由于VaR具有的直观性和科学性特点，自Morgan首次提出以来，VaR就成为经济与金融系统中刻画风险的重要工具，同时也有许多学者对VaR的修正计算进行了相关研究，Ait-Sahalia 和Lo应用非参数方法对VaR进行了估计[1]，Wong 和So则利用了基于GARCH模型的参数估计方法来计算VaR[2]，叶五一和柏其研究了基于Bootstrap方法和改进Hill思想的VaR估计方法[3]。
由于金融资产收益分布的不确定性，不管是用非参数方法拟合收益率分布，例如历史模拟法、核密度估计方法，还是用参数分布如t分布、广义误差分布（GED）、广义双曲线分布[4]来拟合金融收益率，拟合分布与真实分布之间都会存在一定程度的偏差。在拟合分布假定下，可以计算置信水平1-α对应的VaR，而在真实分布下，根据拟合分布计算得到的VaR对应的置信水平并不一定是1-α，而是一个与之存在偏差的数值，这里将其记作1-α0。
也有学者对拟合分布下的VaR实际的置信水平进行了相关研究，郭卫娟根据贝叶斯理论推导出了投资人实际损失超过这一VaR估计值的概率，并由此判定VaR估计的有效性[5]，丁岚[6]和徐光林[7]基于回测检验探究了投资组合实际损失超过VaR的概率，但这些研究侧重于比较给定的置信水平与观察期内损失不超过VaR的概率之间的差距，这一概率仅由观察期内的样本数据得到，因此并不能反映真实分布下置信水平1-α0的情况。置信水平存在偏差的主要原因是所研究的金融资产或者证券投资组合的真实分布不能准确得到，只能假定其服从特定的拟合分布，拟合分布与真实数据之间的拟合程度越高则置信水平的偏差就越小。本文的研究是利用假定的拟合分布和真实数据之间的拟合程度来构建修正因子，首先通过Kolmogorov-Smirnov（以下简称K-S）检验法构造拟合优度指标；其次，结合拟合分布对数据真实分布的估计偏差构建修正因子，对由拟合分布计算得到的VaR的置信水平1-α进行修正，使其更接近真实的置信水平1-α0。通过对标准正态分布随机数的数值模拟，验证了所构建的修正因子的合理性。而基于上证指数对数收益率数据的实证研究则具体介绍了修正因子计算的具体流程和方法，因而本文具有较强的理论价值和实践指导意义。
1 VaR置信水平修正因子构建
为了使拟合分布下计算得到的VaR的置信水平更接近真实的置信水平，需要对给定的置信水平进行修正。本文首先提出了一个拟合优度指标来描述样本数据与特定分布的拟合情况，之后结合拟合分布对数据真实分布的估计偏差构建修正因子。
1.1 拟合优度指标
判定观察值是否服从特定分布一般需要利用拟合优度检验的方法。常用的拟合优度检验一般可以分为χ2型检验、经验函数分布（EDF）型检验以及针对常用分布的检验统计量。χ2检验的概念在1900年由Pearson首次提出，他基于观测频数与期望频数的差异构建了统计量，该统计量渐进于χ2分布，这类χ2型拟合优度检验也可以应用于连续分布中，但首先需要进行分组离散，由于分组方式具有随意性，并且分组可能引起部分信息的丢失，因此容易导致拟合优度检验的效果不够稳健。而经验函数分布（EDF）型检验则利用经验分布函数与假定的理论分布之间的差异判定拟合效果。此外也有针对特定分布的拟合优度检验法，例如针对均匀分布的Greenwood统计量，针对正态分布检验的Shapiro-Wilk统计量、Agostino统计量等。近年来，也有不少学者对非参数拟合优度的方法进行了进一步的研究。Vexler和Gurevich基于样本熵和经验似然比的方式构建了非参数的拟合优度统计量[8]，Jeffrey等构建的检验统计量则利用了核密度估计函数与参数模型的边缘似然比[9]。
在拟合优度检验中，Kolmogorov-Smirnov（以下简称K-S）统计量的应用较为广泛。因为K-S统计量对数据分布并没有过多的限定，处理连续分布的拟合效果时也不需要考虑离散过程分组选择问题，因此本文构建的拟合优度指标就是基于K-S检验法给出。
从上文可知，Kn的极限分布与准确分布都是已知的，因此可以由样本数据计算得到相应的λ值，再进一步由Kn分布可以得到相应的拟合优度L（λ）。在分布给定的情况下，样本统计量λ唯一对应了拟合优度L（λ）=P（Kn？叟λ），显然，λ越小，相应的拟合优度L（λ）就越大，此时数据与设定函数之间的拟合效果也越好，而当λ趋于0时，可以认为数据与假定的分布函数完全拟合，此时的拟合优度L（λ）则趋向于1。
1.2 修正因子的建立
上一节中已给出了拟合优度的计算方法，接下来就拟合分布对数据真实分布估计偏差的度量进行研究，并进一步构建修正因子。
在样本数据的拟合分布和真实分布下，皆可以找到置信水平1-α对应的分位点数值，分别用M和M'表示，而在真实分布下有P（x？叟M'）=α且P（x？叟M）=α0，构建修正因子的目的就是对1-α进行修正，使其更接近真实的置信水平1-α0。拟合分布函数与真实分布函数分别用f（x）与f0（x）表示，若M
3 实证分析
本文选取2011年01月03日-2015年12月31日的“上证指数”为对象做实证分析，分析的数据是上证指数的对数收益率Ri=ln（），Pi是第i天的收盘指数，共1213个样本点。由于金融产品收益率表现出尖峰厚尾的特点，本文用t分布对数据进行拟合，收益率分布直方图和分布拟合曲线如图2所示。
进一步计算拟合优度的数值，这里的拟合优度L利用MATLAB随机模拟的方式获得，模拟算法参考了Jeffrey等（2016）的做法[10]，具体过程为：
①生成1213个随机数，这些随机数服从给定的拟合t分布；
②对这1213个随机数计算相应的经验分布函数值Fn（x），结合设定的t分布函数F（x），得到Kn统计量Kn=maxFn（x）-F（x）；
③重复上述步骤，并存储每次计算得到Kn的统计量，得到10000个Kn的模拟结果，将由实际数据得到的Kn统计量K0与这10000个Kn比较，计算其中大小超过K0的数据所占比例，这一比例即为拟合优度L。
根据上述模拟过程计算得到拟合优度为L=0.513，进一步可以得到修正后的VaR的置信水平为：
对样本数据经过分析，在经验分布下M对应的置信水平小于0.95，这也与上述结果吻合。由此可见，上述对拟合分布下VaR置信水平的修正是合理的。
4 结论
本文利用拟合优度及拟合分布对真实数据分布的估计偏差构建了修正因子，对拟合分布下VaR的置信水平进行修正。通过正态随机数的数值模拟，验证了对置信水平的修正方法是合理且有效的，此外也基于上证指数对数收益率数据做了实证分析，结果也表明修正后的置信水平更接近于真实的置信水平。
参考文献：
[1]Ait-Sahalia Y， Lo A W. Nonparametric Risk Management and Implied Risk Aversion [J]. Journal of Econometrics， 2000， 94（1）.
[2]Wong C M， So M K P. On Conditional Moments of GARCH Models with Applications to Multiple Period Value[J]. Statistica Sinica，2003，13.
[3]叶五一，柏其.应用改进Hill估计计算在险价值[J]. 中国科学院研究生院学报，2004（03）.
[4]杨爱军，林金官，刘晓星.基于广义双曲线分布的我国股票市场VaR风险度量研究[J].数理统计与管理，2014（04）.
[5]郭卫娟.基于贝叶斯方法的风险价值 VaR 的计算[J].湖北教育学院学报，2007（02）.
[6]丁岚.基于贝叶斯方法修正的 VaR（CVaR）风险度量比较[J]. 统计与决策，2014（24）.
[7]徐光林.回测检验在商业银行市场风险度量中的应用研究[J].金融理论与实践，2010（01）.
[8]Vexler A， Gurevich G. Empirical Likelihood Ratios Applied to Goodness-of-fit Tests Based On Sample Entropy[J]. Computational Statistics & Data Analysis， 2010， 54（2）.
[9]Hart J D， Choi T， Yi S. Frequentist Nonparametric Goodness-of-fit Tests via Marginal Likelihood Ratios[J]. Computational Statistics & Data Analysis， 2016， 96.