浅议在微积分教学过程中渗透数学建模思想
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摘 要：当前的微积分教学偏重理论体系的完整，缺少实例.将数学建模思想融入微积分教学过程，不仅丰富课堂教学，还可提高学生的数学应用能力.
关键词：微积分；数学建模思想；教学案例
一、微积分教学中存在的问题
众所周知，微积分起源于实际问题，从创立之初到后期发展无不与实际问题紧密相连.但是，在当前的微积分教学过程中却偏重理论体系的完整性和推导过程的严谨性，一味灌输理论知识，不仅缺少实际案例，更没有与微积分紧密相关的大型案例，使得微积分与现实世界的实例相脱节，既没能显示微积分的应用价值，也没能让学生感受到微积分的魅力，反而让学生感到枯燥、难懂，甚至厌学.很多学生学完微积分后，只记得有很多定义、定理和计算公式，根本搞不清楚为什么要学习微积分，也不知道微积分究竟有没有用.
二、数学建模思想
在知识经济时代，数学科学的地位正发生巨变，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿.数学建模思想就是把现实世界中的实际问题转化为数学模型的一种思想方法.数学模型是一种模拟，是用数学语言对实际问题的内在规律的抽象刻画，它的建立需要对实际问题做深入细致的研究，并且要结合相关专业知识（工程、生物、经济等）、数学知识和数学工具.它不仅能解释某些客观现象，还能预测其发展规律，或者提供某种意义下的最优策略.
通过体验数学建模过程，不仅能激发数学学习兴趣，增强数学应用意识，还能培养团结协作精神，提高发现、分析和解决问题的能力.我们需要为学生创设一个学数学、用数学的环境，注重将数学建模的思想和方法引入到相关课程中去，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验，加深对数学的理解.
三、数学建模思想在微积分中的应用
如果能在微积分的教学中充分融入数学建模的思想，在讲授有关知识点时与相应的数学模型结合起来，这样就架起了看似枯燥的数学理论与丰富多彩的现实实例之间的桥梁，既不增加额外学时，还丰富了课堂教学，增强学生的应用意识.那如何将微积分与数学建模思想结合在一起呢？下面通过几个实例说明.
1.一元微积分教学案例
（1）简单的蛛网模型
问题引入：市场经济中的循环现象.若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉的价格就会降低；价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成新的供过于求…….据统计，某城市2010年的猪肉产量为30万吨，肉价为18元/公斤，2011年生产猪肉25万吨，肉价为20元/公斤.已知2013年的猪肉产量为28万吨.若维持目前的消费水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年以后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，请求出稳定的生产量和价格.
模型解答：设第n年的猪肉生产量为xn，猪肉价格为yn，由于当年产量确定当年价格，故yn=f（xn），而当年价格又决定第二年的生产量，故xn+1=g（yn）.在经济学中，yn=f（xn）称为需求函数，xn+1=g（yn）称为供应函数，产销关系呈现出如下过程：
x1y1x2y2x3y3x4y4…
令p1坐标为p1（x1，y1），p2坐标为p2（x2，y1），p3坐标为（x2，y2）， p4坐标为（x3，y2），…，P2k-1坐标为（xk，yk），P2K坐标为（xk+1，yk），k=1，2，…将点p1，p2，p3，…描在平面直角坐标系中，会发现p2k都满足 x=g（y），p2k-1都满足y=f（x），画出图形，这种关系很像一个蛛网，故被称为蛛网模型.
（2）海鲜店的订货问题
问题引入：某海鲜店离海港较远，其全部海鲜采购均需通过空运实现.采购部经理每次都为订货发愁，因为若一次订货太多，所采购的海鲜卖不出去，而卖不出去的海鲜死亡率高且保鲜费用也高；若一次订货太少，一个月内订货批次比较多，这样造成订货采购运输费用高，另一方面还有可能会丧失商机.如果你是李老板的助手，请问你打算怎样帮助他选择订货批量，才能使每月的库存费与采购订货运输费用的总和最小.
模型解答：现假设该海鲜店每月消耗海鲜a（kg），一个月分若干批进货，每批采购订货运输费为b元，并设该海鲜店客源稳定，均匀消费，且上批海鲜消费完后，下一批海鲜能立即运到，即平均库存量为批量的一半，设每月每千克海鲜保鲜库存费为c元.问如何选择批量，才能使每月的库存费与采购订货运输费用的总和最小.设批量为x，采购订货运输费与海鲜保鲜库存费的总和为p（x）.首先，求出函数p（x）， 2.多元微积分教学案例
（1）射击命中概率问题
问题引入：炮弹射击的目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标的中心发射时，在纵多因素的影响下，弹着点与目标中心有随机偏差.可以合理地假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，且偏差在x方向和y方向相互独立.若椭圆区域在x方向半轴长120 m，y方向半轴长80m，设弹着点偏差的均方差在x方向和y方向均为100 m，试求炮弹落在椭圆形区域内的概率.
模型解答：由于弹着点与目标中心的偏差服从二维正态分布，且在x方向和y方向相互独立，设目标中心为（0，0），则弹着点（x，y）的 （2）消费者均衡问题
问题引入：当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时，分别用多少钱买甲和乙能得到最大的满意度.经济学上称这种最优状态为消费者均衡.
模型解答：记p1为甲商品的单价，q1为购买甲商品的数量，p2为乙商品的单价，q2为购买乙商品的数量，当消费者占有甲、乙两种商品的数量分别是q1、q2时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，是q1、q2的函数，记作u（q1，q2），称为效用函数，显然u（q1，q2）=c的图形是无差别曲线族.
上面的实例说明将数学建模思想融入微积分教学是十分必要的.但是，这种数学建模思想的融入不是一朝一夕就能完成的，需要贯穿于微积分教学的全过程.在教学过程中应根据数学理论循序渐进的特点，辅以由易到难的数学模型，二者有机结合，于潜移默化之中提高学生的数学应用能力.
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]张琪.微积分在数学建模中的应用[J].太原城市职业技术学院学报，2013（06）.
[3]汪凯.微积分课堂教学与数学建模思想[J].科技信息，2011（03）.
基金资助：山东省高等学校教学改革项目（2012484），山东省教育科学规划2010年重点课题（2010GZ021）。
作者简介：马晓燕，女，教授，就职于山东省泰安市泰山学院数学与统计学院，长期从事数学教育教学、决策科学理论研究。
胡中永，男，副教授，就职于山东省泰安市泰山学院数学与统计学院，主要从事数学教学、数值算法研究。