谈谈用配方法解方程

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我们知道，用配方法来解一元二次方程ax2+bx+c=0可以先通过配方，把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式，然后把二次方程变形为两个一次方程，从而求得原方程的解.

例1 解方程：4x2+16x+9=0.

解：通过配方把方程的左边分解因式，得

（2x+4+7）（2x+4-7）=0.

这个二次方程可以变形成为两个一次方程：

2x+4+7=0，2x+4-7=0.

解这个方程得

x1=-2-72，x2=-2+72.

这种解法的基本思想是，通过用配方法把方程左边的多项式分解因式，从而把方程f（x）=0的问题转化为求解次数较低的方程问题.据此可知，某些特殊的高次方程也可以用这种方法来解.

例2 解方程x4-15x2+10x+24=0.

分析：把方程左边的-15x2项拆成10x2-25x2两项，就可以使它成为两个完全平方式.

解：将x4-15x+10x+24=0变形为

（x4+10x2+25）-（25x2-10x+1）=0，

即（x2+5）2-（5x-1）2=0，

所以（x2+5-5x+1）（x2+5+5x-1）=0，

所以x2+5x+4=0或x2-5x+6=0.

由x2+5x+4=0，得x=-1，x=-4.

由x2-5x+6=0，得x=2，x=3.

所以原方程的四个根是：

x1=-1，x2=-4，x3=2，x4=3.

例3 解方程x4-2x3-24x2+80x-64=0.

分析：把方程左边的-24x2项拆成x2-25x2两项，就可以使它构成完全平方差形成.

解：x4-2x3-24x2+80x-64=0，

（x4-2x3+x2）-（25x2-80x+64）=0，

（x2-x）2-（5x-8）2=0，

即（x2+4x-8）（x2-6x+8）=0，

所以x2+4x-8=0，x2-6x+8=0.

解这两个二次方程，得到原方程的四个根是：

x1=-2+23，x2=-2-23，x3=2，x4=4.

由例2和例3可以看到，有些四次方程的求解，可以通过把原方程的左边配成两个完全平方的差，使问题转化为解两个二次方程，从而得到解，那么对于一般的四次方程能不能也用这样的方法来求出它的解呢？

例4 解方程x4+8x3+12x2-11x+2=0.

分析：如果像例3那样，把方程的左边的12x2项，拆成16x2和-4x2两项，那么x4+8x3加上16x2后是一个完全平方式，但-11x+2加上-4x2后却不是一个完全平方式，这就需要再进行配方.

解：x4+8x3+12x2-11x+2=0.

变形为x4+8x3+16x2+4x2-11x+2=0

即（x2+4x）2-（4x2+11x-2）=0.

因为4x2-11x-2不是完全平方式，所以需要把方程的左边再配方.这里，可以把（x2+4x）2看做“a2”，加上“2ab+b2”后配成一个新的完全平方式，就是：

（x2+4x）2+2（x2+4x）·t2+（t2）2-（4x2+11x-2）-2（x2+4x）·t2-（t2）2=0.

（x2+4x+t2）2-（t+4）x2+（4t+11）x+t24-2=0.（1）

要使（t+4）x2+（4t+11）x+t24-2是一个完全平方式，就必须使它的判别式=0，也就是t必须满足方程：

（4t+11）2-4（t+4）（t24-2）=0.

就是t3-12t2-96t-153=0.

解这个三次方程，得其中一个根为t=-3.

代入方程（1）得

（x2+4x-32）2-（x2-x+14）=0.

即（x2+4x-32）2-（x-12）2=0.

（x2+5x-2）（x2+3x-1）=0，

所以（x2+5x-2）=0或x2+3x-1=0.

解这两个二次方程，得到原方程的四个根是：

x1=-5+332，x2=-5-332，x3=-3+132，

x4=-3-132.

上面这种解四次方程的方法叫做费拉利解法，它可以用来解任何一个一元四次方程.它最关键的是，要通过两次配方，把四次方程变形成为两个二次方程来解.