浅谈中学条件概率教学

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【摘要】条件概率问题，一直是高中数学教学中的难点和热点问题，如何合理把握难度，搞好条件概率的教学一直是教育工作者探讨的问题.本文通过自身教学体会，介绍了高中数学教学中条件概率的教学心得.

【关键词】条件概率；概念；安全；小结

在中学学习过程中，条件概率是公认的一个难点问题，如何让学生明白条件概率，学会计算条件概率，是中学数学教学中一直在探讨的问题，很多优秀教育工作者都已经对此提出了自己的看法，本文通过具体案例详细地介绍了高中数学教学中条件概率的学习.

一、课堂引入

例1一个班级中有男生30人，女生20人，其中15人是团员，在这个班级中任选一名学生.

（1）这名学生是团员的概率是多少？

（2）若已知这名学生是男生，这名学生是团员的概率是多少？

分析问题（1）是一个典型的古典概型问题，学生很容易就能回答出来，进一步，在（2）中，样本空间改变了，样本空间不再是全体学生组成的集合，因为知道选的这名学生是男生，那么样本空间应该是男生组成的集合，基本事件的个数变成了30个，但这仍然是一个古典概型问题，只不过样本空间缩小了而已.

解设Ω表示“全体学生”，A表示“学生是团员”，B表示“已知学生是男生，这名学生是团员”，则

（1）P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数=1550=310.

（2）P(B)=1530=12.

上述（2）中遇到的情况，现实生活中经常遇到，这就是下面我们要学习的条件概率问题.

二、条件概率的概念

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件A发生的条件下，求事件B发生的条件概率，记作P（B|A）.

定义设A，B是两个事件，且P（A）>0，则称

P(B|A)=P(AB)P(A).(1)

为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率.相应地，把P（B）称为无条件概率.一般地，P(B|A)≠P(B).

注用维恩图表达(1)式.若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB.因已知A已发生，故A成为计算条件概率P（B|A）的新的样本空间.

例2某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号.

（1）他接通电话的概率？

（2）求他已知最后一个数字是奇数时接通电话的概率.

分析（1）中基本事件总数是10，而（2）中基本事件总数应该是5，样本空间缩小了，但仍然可以使用古典概型思想，也就是在缩小的样本空间中计算古典概率，所以应该是15.

解设Ω表示“接通电话”，A表示“随意地拨号，接通电话”，B表示“已知最后一个数字是奇数时接通电话”，则

（1）P(A)=A包含的基本事件数基本事件总数=110.

（2）P(B)=B包含的基本事件数基本事件总数=15.

例3盒子中有10个球，6白4红，无放回地每次抽取一球，记A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”，求P（B|A）.

解由条件概率的计算公式，得

P(B|A)=P(AB)P(A)=6×510×9610=59.

三、课堂小结

通过上述例题，我们可以发现计算条件概率有以下两种方法：

（1）在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|A).

（2）在样本空间Ω中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定义计算P(B|A).

通过上面的讨论，我们可以看出，条件概率只是一种特殊的概率，是在缩小的样本空间中计算的概率，只要我们找准样本空间，找准具体事件，计算条件概率其实并不是一件很困难的事情.

【参考文献】

［1］盛骤，谢式千.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，2008.

［2］孟晗.概率论与数理统计.济南：同济大学出版社，2011.