45分钟进入离散傅立叶变换

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【摘要】离散傅立叶变换在数字信号处理课程中非常重要，也非常难，在讲解离散傅立叶变换的公式和性质之前，应先让学生理解离散傅立叶变换的物理意义以及与其他三种傅立叶变换的联系，本文采用3W1H的叙述方式让学生对离散傅立叶变换产生学习兴趣。

【关键词】离散傅立叶变换;周期性;物理意义

离散傅立叶变换是整个数字信号处理课程的数学基础，公式性质繁多，要让学生充分掌握这一章的内容，必须在教学方法和教学内容上要迎合学生的学习状态，提高课堂效率。强调要理解傅立叶变换，需要有一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，首先要理清离散傅立叶变换的物理意义，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，充分理解四种傅立叶之间的关系。本文采用记事叙述的方式慢慢展开离散傅立叶变换的神秘面纱。

1.Why

对于离散时间信号的处理方法，在第二章我们学习了Z变换和序列的傅立叶变换（DTFT），为什么还要学习新的变换――离散傅立叶变换呢？

简要复习Z变换和DTFT的定义。序列的傅立叶变换（DTFT）和Z变换都是针对无限长序列定义的，其中复变量ω和Z 都是连续变量。计算机在进行数字信号处理时只能处理有限长序列，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。我们可以利用Z变换研究有限长序列，但是我们希望寻找一种能反映出有限长序列特点的更有力的工具，这就是离散傅立叶变换，简称DFT。

在此处提出问题，一方面让学生回顾前面学习过的重要知识点，另一方面建立前后知识点之间的联系，让学生理解学习本章的目的。讲解时间大概为5分钟。

2.Who

为什么是傅里叶变换呢？

傅立叶是法国的数学家和物理学家，1768年生于法国，8岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文，推导出著名的热传导方程。在这篇论文中，他提出了两个主要的论点：“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”和“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”。

但经拉格朗日等审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。因为当时拉格朗日是学术权威，一直到拉格朗日去世之后才被公开发表。当然拉格朗日有他的道理，对于一个有尖峰的函数来说是不能严格三角函数的形式来表示，这正如我们看到的吉布斯现象。

1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。

傅里叶之所以能取得富有如此深刻内容的成就，正如撰写过傅里叶传记的两位作者所说：这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学头脑的数学大师才能达到。

为了提起学生的学习兴趣，给学生讲述傅立叶的故事，那么学生在课堂学习中就不会觉得枯燥无味。此部分讲述时间控制在5分钟左右。

3.What

什么是傅里叶变换呢？

建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为自变量的“频率函数”（频谱）之间的某种变换关系。

根据时域和频域是否离散，我们在计算确知信号的频谱时，碰到可能的形式大概有四种，它们对应的傅立叶变换也有着不同的形式，在讨论DFT之前，我们先回顾一下傅立叶变换的几种可能的形式。

（1）周期的连续时间，离散频率――傅里叶级数（FS）

周期为T0的周期性连续时间函数x（t）可展开成傅里叶级数X（jkΩ0），是离散非周期性频谱，表示为：

式中X（jkΩ0）是以角频率Ω0为间隔的离散函数形成频域的离散频谱，Ω0与时间信号的周期之间的关系为Ω0=2π/T0。傅里叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为Ω0整数倍的谐波，k为各次谐波序号。

（2）非周期的连续时间，连续频率――傅里叶变换（FT）

非周期连续时间信号通过傅里叶变换得到非周期连续频谱密度函数。

（3）非周期的离散时间、连续频率――序列的傅里叶变换（DTFT）

非周期离散的时间信号DTFT （经过单位圆上的z变换） 得到周期性连续的频率函数。

ω是数字频率。

由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换。

（4）离散时间，离散频率――离散傅里叶变换（DFT）

前面的讨论已经得出结论：时域的周期性导致频域的离散性，时域的连续函数在频域形成非周期频谱;而时域的离散性造成频域的周期延拓，时域的非周期性对应于频域的连续函数形式。那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换，应该形成时域和频域都具有周期性的函数。

如果序列x（n）是模拟信号x（t）经过抽样得到，抽样时间间隔为Ts，则频率函数的周期为Ωs=2π/Ts，如果频率函数也是离散的，其采样间隔为Ω0，则时间函数的周期为T0=2π/Ω0，当时间函数序列一个周期内的抽样点数为N时，有N=T0/TS=Ωs/Ω0，表明在频域中频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N，即离散傅里叶变换的时间序列和频率序列的周期都是N，可以得到表示于一个周期内的常用的离散傅里叶变换对如下：

时域：对周期矩形脉冲信号以TS为周期进行抽样，得到离散时间序列;

频域：是傅里叶级数以周期ΩS的延拓。

数字信号处理中绝大多数信号是有限长序列。工程中采集的信号是有限长的，例如图像信号、语音信号。有限长信号的频谱是连续的谱，如果我们把有限长序列假定为周期序列的一个周期，并借助于离散傅立叶级数的形式，把它的频谱离散化，最后得到的是离散傅立叶变换。利用这一思想，使得一个有限长序列无论在时域或频域，均为一离散的、有限长序列，我们就可以很方便的利用计算机来进行信号的数字处理。

DFT是数字信号处理的核心，为了更好地掌握、理解离散傅立叶变换，本章从周期信号的傅立叶级数（DFS）的概念出发，以讨论DFS为桥梁过渡到离散傅立叶变换（DFT）。

从傅立叶的故事顺利过度到四种傅立叶变换定义，让学生慢慢进入知识点的学习状态。在这部分详细讲解四种傅立叶变换的定义和变换对，在复习的基础上让学生充分理解不同傅立叶变换的联系，进而引入离散傅立叶变换的形式。这部分的讲解时间为20分钟。

4.How

设x（n）是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示：

离散傅里叶变换是x（n）的频谱在[0，2π]上的N点等间隔采样，也就是对序列频谱的离散化，这就是DFT的物理意义。

DFT的一个重要特点就是隐含的周期性，从表面上看，离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的，有限长的序列，但实质上DFT是从DFS引申出来的，它们的本质是一致的，因此DFS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。

然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限宽的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的带宽小于折叠频率;同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度。

这部分主要讲解DFT的物理意义和隐含的周期性，如何从无限长变为可处理的有限长，是后续公式推导的核心，讲解时间为10分钟。

课程最后，进行简要总结，把这节课的3W1H的内容进行简要回顾，提出下节课的学习任务是进行离散傅立叶级数的数学推导、性质分析以及应用。