浅谈均值不等式的应用

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摘 要 均值不等式在很多领域都占有重要的地位，但它的应用是一个难点，本文从初等数学，高等数学，实际生活三个方面论述了均值不等式的应用，有利于对均值不等式的进一步理解及应用。

关键词 均值不等式 应用 技巧

中图分类号：G634.6 文献标识码：A

On the Application of Mean Inequality

WANG Dongmei

（School of Mathematics， Jilin Normal University， Siping， Jilin 136000）

Abstract Mean inequality occupies an important position in many areas， but its application is a difficult point， this article from elementary mathematics， advanced mathematics， practical life three aspects discuss mean inequality； it is beneficial for further understanding of the mean inequality and applications.

Key words mean inequality； application； skill

均值不等式是数学科目在初级甚至高级阶段应用概率比较大的一个基本不等式。 均值不等式的等量关系及非等量关系大量存在于自然界中，基本的数学关系就包括非等关系和等于关系，这在数学领域的应用研究中有着十分重要的应用。

1 在初等数学中的应用

1.1 简单累加累乘

利用均值不等式证明不等式是一个学习难点，这里介绍一下技巧。

根据北京召开的第二十届国际数学家大会的会标为基础，我们可以很容易的解答此题。

例1 已知，，>0，则（ + ）（ + ） + （ + ）≥2。

解 左边≥・・2 + ・2 = 22。

其中等号成立当且仅当 = = 时成立。

像这样，首先看已知条件，运用均值不等式的定义，再通过论证、推导等得出我们要证的结论，是今后常常用到的方法，这种方法对知识的综合性要求比较高。

1.2 求最值

利用均值不等式求最值是高中数学的一个重点。 运用时必须具备三个必要条件―― 即一正（各项的值为正）、二定（各项的和或积为定值）、三相等（取等号的条件）。应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次，下面通过具体实例说明如何求最值。

能通过拆项、换元、平方等多种变形技巧，凑成“和为定值求积的最值”或“ 积为定值求和的最值” ， 这是应该掌握的第二层次。

例2 已知 = 1， 求 = 的最小值。

解： = = ≥

= = 1。

当且仅当 = ， = 1，即 = = 1或 = = 1时， = 1 。

总结：在研究均值不等式时，往往先研究均值不等式的几何背景，并且对均值不等式的几何背景进行解释，使得我们可以更加直观的看出结论，从而良好地把握问题。在这个过程中，可以适度的提供空间的探究，通过大量且缜密的思考，可以准确地得出问题的结论。此外，加强重视均值不等式解决实际问题，循序渐进地堆应用数学的意识及能力的培养。

2 对于高等数学均值不等式的作用

例3 求极限。

解：利用元均值不等式

≤ ，

有

即0≤

3 利用均值不等式解决极值问题

通常，求解函数极值题型，首先，写出此函数的解析式，之后，判断是否可以利用均值不等式来解决此题。利用微积分解决极值问题是可行并且是有效的，除此之外，求解一些极值问题中的特殊类型也可用均值不等式。运用均值不等式可以解决诸多相像的问题。但是，利用均值不等式，解答一些特殊的极值问题简洁又方便，非常独到。解决这类问题只要求很少的基础知识，非常容易理解。

4 利用均值不等式注意事项

（1）不同的均值不等式对实数的取值范围有不同的要求，如果实数在二次根号下，要求实数大于等于零。（2）均值不等式是带有等号的不等式，在解答此类问题时，首先，要考虑等号成立的条件。（3）为了便于掌握均值不等式，可以运用多种形式，例如，符号表达、图形表达、生活用语。把生活语言表述成符号，容易看出其与均值不等式的密切关系。（4）解答圆的直径与弦长大小的比较也可用均值不等式，体现了均值不等式的几何意义。这是一个典型的几何问题，在实际应用中有很多用处。（5）在周长相等的全部矩形中，面积是最大的是正方形。在面积相等的全部矩形中，周长最小的是正方形。这个结论通过反复验证、分析，具有普遍意义。

5 总结

均值不等式是中学的一个重点，也是一个难点，但是它的应用很广泛，尤其是在求函数最值的时候。事实上，利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”的条件很重要，特别是“等号条件的成立”。但是，在运用均值不等式的时候，往往就容易产生这样或那样的错误。

通过本文的阐述，让我们了解均值不等式的应用，提醒读者正确使用均值不等式。利用均值不等式的常用技巧进行归纳，另外，利用均值不等式求配凑，也是一个重点。通过本文的概括，有助于进一步了解均值不等式的使用。本文是对利用均值不等式求最值的方法的延伸。

在以前的学习中，均值不等式经常会接触，只不过不够全面。在重新研究均值不等式的过程中，其性质可以全面的总结，对均值不等式的性质以及研究整理均值不等式的过程，进行周密的讨论。学习对应的方法以及思路，从而提高对均值不等式的认识。另外，可以根据实际的情况，对均值不等式问题，做出适当的扩展，也可以在教学中予以改进和提高。

参考文献

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