圆中的动点问题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇圆中的动点问题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

点在圆弧上运动

如图1所示，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A，B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，连结DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.

求证：CD2+3CH2是定值.

题中半径不变，DG，GH和HE之间的等量关系不变，可过点H作HFCD于点F，构造相似三角形，应用相似及勾股定理等知识用CD2来表示CH2，求出CD2+3CH2是一个定值.

连结OC，易证四边形ODCE为矩形，所以DE=OC=OA=3. 所以DH=2. 过点H作HFCD于点F，因为ECCD，所以HF∥EC. 所以DHF∽DEC.所以==. 所以DF=CD，CF=CD-FD=CD. 在RtCHF中，CH2=HF2+CF2=HF 2+CD2；在RtHFD中，HF 2=DH2-DF2=4-CD2，所以CH2=4-CD2. 所以CD2+3CH2=CD2+34-CD2=12，即CD2+3CH2是定值.

如图2所示，AB为O的直径，OC=4，∠OAC=60°，一动点M从点A出发，在O上按逆时针方向运动，当SMAO=SCOA时，求动点M所经过的弧长.

要使得SMAO=SCOA，MAO与COA就必须同底等高，因此先要确定满足条件的点M，再确定弧AM所对的圆心角的大小，这样就可以求出动点M经过的弧长.

（1）作点C关于直径AB的对称点M1，连结AM1，OM1. 易得S=S，∠AOM1=60°，所以l=·60=π. 所以当点M运动到M1时，SMAO=SCOA，此时点M经过的弧长为π.

（2）过点M1作M1M2∥AB交O于点M2，连结AM2，OM2，易得S=S，所以∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°. 所以l=π·2=π或l=·120=π. 所以，当点M运动到M时，SMAO=SCOA，此时点M经过的弧长为π.

（3）过点C作CM3∥AB交O于点M3，连结AM3，OM3，易得S=S，且∠BOM3=60°. 所以l=·240=π或l=π·2=π. 所以当点M运动到M3时，SMAO=SCOA，此时点M经过的弧长为π.

（4）当点M运动到点C时，SMAO=SCOA，此时点M经过的弧长为·300=π或π+π=π.

点在线段上运动

如图3所示，ABC内接于O，∠B=90°，AB=BC，点D是O上与点B关于圆心O成中心对称的点，点P是BC边上一点，连结AD，DC，AP，已知AB=8，CP=2，点Q是线段AP上一动点，连结BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R，且满足AP=BR，则的值为______.

研究点Q，R的运动过程发现，随着点Q在线段AP上运动，点R也在四边形ABCD边上运动，即落在四边形ABCD的边AD或边CD上，可画出图形，再应用全等、相似等知识求出的值.

（1）当点R在AD边上时，如图4所示，由题意可知四边形ABCD是正方形，因为BP=BC-PC=6，AB=8，所以AP==10.

易证ABP≌BAR，所以AR=BP，BR=AP=10.

又AQR≌PQB，所以BQ=QR. 所以的值为1.

（2）当点R在CD边上时，如图5所示，易证ABP≌BCR，所以∠BPA=∠CRB，BR=AP=10.

又∠PBQ=∠RBC，所以BPQ∽BRC . 所以=.

又BP=6， BR=10，BC=8，所以BQ==4.8，QR=5.2.

所以的值为.

综上所述，的值为1或.