静电场力磁场力的虚位移解法

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摘要：本文给出了一种计算导体或电介质受电场力、载流回路或磁介质受磁场力的另类求法，并从理论和实例两方面进行了分析说明。

Abstract: The paper deals with the method of calculating the conductor and dielectric effected by electric field force, and the method of calculating loop current and magnetic substance effected by magnetostatic field force. It is analysed and illustrated from both theories and instances.

关键词：电场力；磁场力；虚位移

Key words: electrostatic field force；magnetostatic field force；virtual displacemen

中图分类号：G31文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）11-0040-02

0引言

导体系统内任意导体或电介质在静电场中受到的静电力，原则上可用库仑定律来计算；载流回路间的磁力或磁介质受到的磁力，原则上可由安培力公式计算。但在实际中，有些问题如果采用上述常规的方法来求解，步骤繁琐、难度大，在普通物理范围内很难解出；甚至有些像电介质、磁介质的受力计算，用库仑定律、安培力公式来计算简直无从下手。此时，类比力学中假定受力物体在受力方向上发生微小的“虚位移”，用物体势能的空间变化率来计算力的方法。依据不同情况下电源给系统提供的能量和系统增加的电磁场能量以及磁场力与静电场力做的功的关系，我们就能够容易地解出物体受到的磁场力与静电场力。

1导体和电介质受到的电场力

1.1 针对于理论而言，当带电系统充电后和外电源已不再有关系，也就是说，多导体系统里所有电荷保持不变的时候，如果在系统内，某一个导体或者是电介质由于受到静电力的作用而产生了某种位移，那么静电力肯定等于电势能的空间变化率，我们可以用公式表达出来，如下：F=-W （1）

1.2 假如在系统内，各个导体均保持和外加电源互相连接，那么此时各导体的电势是常数。假如某一个导体或者是电介质产生了位移，那么势必产生所有导体上电荷的变化，所以外借的电源会做功，做功表示如下：ΔW=∑φiΔqii（2）

电场能量的增量为：ΔWe=∑φiΔqi（3）

所以电源所提供的能量一半被用来静电力做功，同时，另一半被用来电场储能。此时，静电力可计算为如下：

F=-W （4）

此外，不论是导体系统和电源互相连接亦或不互相连接，他们均是同一个导体系统中的两个假设，因此计算出的静电力的结果应该是相同的。

1.3 应用实例

1.3.1 实例1求带电导体单位面积上的静电力。如图1所示，导体内部的E=0，We=0，我们设想导体表面的一个面元ΔS向外发生了一个小位移Δx，则小体积元ΔSΔx内的能量将变为零。电场的总能量将减少，减少量为ΔWe=weΔSΔx。因导体表面的场强与表面垂直，由式（1）知：ΔF=-W =ex=weΔSex（5）

导体单位表面受到的静电力：

f==weex=ε0E2ex=σEex（6）

1.3.2 实例2平行板电容器满足以下条件：

①长为l。②宽为w。③极板间的距离为d。另外，在其中，宽度为x(x

We=ε0（w-x）ld+εxld（7）

假定电容器与电源相连，则电压不变。设电介质发生微小位移，由式（4）、（7）知，电介质受到的静电力：

F=W =ex

=ε0（-1）ld+εldex=（ε-ε0）E2ldex（8）

位于电容器内介质板侧面上，单位面积上的力为：

f==（ε-ε0）E2ex=[we（ε）-we（ε0）]n（9）

2载流回路和磁介质受到的磁场力

在由许多回路电流所构成的系统里，假如要使某一部分受到磁场力，那么我们可以假设它产生极小的位移，同时假设出以下两点：

2.1 每个回路的磁链Ψi不变。可是因为该部分产生的位移，在系统里，各个回路电流势必产生改变，这样才能够保持各个回路的磁链不变。加之在回路中无感应电动势，如果能够忽略焦耳损耗，那么和回路相连接的各个电源不会给回路系统输入能量。因此，要完成该部分产生位移需要的机械功，只能依靠减少系统磁场能，也就是：F=-Wm （10）

2.2 每个回路的电流不变。因为该部分产生的位移，在系统中，各个回路的磁链也会产生变化，也都会有感应电动势。此时为维持电流不变，各电源势必要做功来进行克服。电源做功可用公式表现如下：ΔW=∑IiΔt=∑IiΔi（11）

系统的磁能为：Wm=∑Iii（12）

即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，另一半用于该部分位移所需的机械功，即：

F=Wm （13）

无论假设磁链不变，还是假设电流不变，都是同一回路发生位移下的两种假设，求出的磁力应该是相同的。

2.3 应用实例实例3图3为一个电磁铁，其有以下条件：

① 电流为I。②铁芯的横截面积为S。③线圈的匝数为N。④磁路中的磁通为Φ。试求衔铁受到电磁铁对它的吸力。令衔铁发生一虚位移dy，调节电源的电压以保持铁芯中的Φ恒定，衔铁的位移将引起系统磁能的改变：dWm=2Sdy=dy（14）

由式（10）、（14）得：

F=-Wm =-ey=-ey（15）

从以上所举的例子来看，计算导体与电介质受到的静电力、磁介质受到的磁场力时，用库仑力、安培力公式有时不容易计算出。这时，我们可以采用“虚位移”的方法去计算，由于其方便性，可能会收到很好的效果。

参考文献：

[1]梁灿彬.电磁学[M].北京:人民教育出版社,1980:107-109.

[2]王典成.电磁场理论与微波技术[M].北京:科学出版社,1986:194-198.

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