高考万有引力与航天试题归类分析

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一、命题规律

1。从考查内容上看：2013年全国各地高考试卷中，万有引力定律及应用考查5次；变轨过程中的能量转化考查2次，双星问题考查1次，开普勒定律考查1次，中心天体质量的估算考查一次。

2。从题型赋分上看：2013年高考对此部分主要以选择题的形式出现，赋分一般为6分或4分。

3。从考查方式上看：2013年高考试题中主要体现两种方式。一种是万有引力在行星运行中的应用；一种是万有引力定律与现代航天技术相结合，对实际应用能力的考查。

二、归纳分析

1。万变不离其中――对基本规律、公式的考查

万有引力与航天部分涵盖的公式比较多，公式变形也很繁杂，并且题目千变万化。但万变不离其中，主要抓住一个最基本关系，即万有引力提供向心力，有GMm1r2=ma向。进而结合向心力的不同表达式，推导出已知量与未知量之间的关系。

例1（广东卷第14题）如图1所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）。

图1A。甲的向心加速度比乙的小

B甲的运行周期比乙的小

C甲的角速度比乙的大

D甲的线速度比乙的大

分析运动轨道半径相同， 中心天体的质量不同， 通过分别对甲、乙运用GMm1r2=ma向=mv21r=mw2r=m4π21T2r，可得出答案为A选项。

例2（四川卷第4题）太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glises581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待。该行星的温度在0°到40°之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1。5倍，公转周期为13个地球日，“Glises581”的质量是太阳质量的0。31倍，设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕中心天体做匀速圆周运动，则（）。

A。在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同

B。如果人到了该行星，其体重是地球上的2213倍

C。该行星与“Glises581”的距离是日地距离的131365倍

D。由于该行星公转速率比地球大，地球上米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短

分析A选项考查的是第一宇宙速度。第一宇宙速度在2013年高考大纲中属于Ⅰ级要求。第一宇宙速度是最大的环绕速度，v=GM1R2，R近似为星球自身的半径。可由题中给出的半径关系知A选项错误。B选项考力加速度g。人在地球上时G人=m人g=Gm人m地球1R2地球，注意此时的中心天体是地球。同理，G人′=m人g′=Gm人m581c1R2581c，由题中质量的关系可知B选项正确，D错误。该题中没有明确的给出轨道半径的关系，但可由公转周期与轨道半径的关系T=4π2r31GM导出轨道半径之间的比例关系，可知C选项错误。

2。变轨中的能量守恒与转化

在变轨问题中，机械能量守恒，即Ek1=Ek2。但若有空气摩擦作用，机械能不守恒，并且会因摩擦而产生一定的热量。

例3（安徽卷第17题）质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为EP=-GMm1r，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径为R2。此过程中因摩擦而产生的热量为（）。

A。GMm（11R2-11R1）B。GMm（11R1-11R2）

C。GMm12（11R2-11R1）D。GMm12（11R1-11R2）

分析考查变轨中的机械能转化。可由Ek1=Ek2求解，但注意题中R1对应的v1与R2对应的v2不相等，两处的动能EK亦不同。也可用动能定理W合=ΔEK求解，但注意摩擦力做负功。

EP1+EK1=EP2+EK2+Q热

由题意可知，

EP1=-GMm1R1 ， EP2=-GMm1R1。

由GMm1r2=mv21r

可得出EK1=112mv21=GMm12R1，EK2=112mv22=GMm12R2。

联立可知C选项正确。

例4（新课标全国卷Ⅱ第20题）目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，因轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄空气阻力的作用，则下列判断正确的是（）。

A。卫星的动能逐渐减小

B。由于地球引力做正功，引力势能一定减小

C。由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变

D。卫星克服气体阻力的功小于势能的减小

分析轨道半径变小，卫星动能随着半径的减小而增大，EK1=112mv21=GMm12r，A选项错误。半径变小，地球引力做正功，由功能关系可知，引力势能减小，B选项正确。由于空气阻力做负功，机械能减小，C选项错误。由动能定理Wf+WG=ΔEK可知D选项正确。

说明：对于变轨过程中的能量问题，把握住机械能始终守恒。注意在变轨中由于轨道半径的变化，动能也会因此改变，利用基本公式GMm1r2=mv21r，通过变换即可求出动能。

3。抓住特点解决双星问题

被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星称为物理双星。双星系统具有以下几个特点：

（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供

（2）各自周期及角速度相同

（3）各自轨道半径之和为它们之间的距离

例5（山东卷第20题）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，图2两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（）。

A。n31k2TB。n31kT

C。n21k2TD。n1kT

分析如图3所示，双星系统各自所需的向心力

由彼此间的万有引力提供，即

F=GMm1r21=m1w21r1，F=GMm1r22=m2w22r2。

联立以上两个公式，由于两颗恒星的角速度相同，可得出r11r2=m11m2，联立r1+r2=L，F=m14π21T2r1或F=m24π21T2r2

可得T=2πL31G（m1+m2），（m1+m2）为双星的总质量。由题中的比例关系可得出 选项B正确。