浅谈矩阵的秩在线性代数中的应用

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摘 要：矩阵的秩是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究中的一个重要工具。文章叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的结论。以矩阵的秩为例，分析矩阵的秩在线性代数中的诸多应用，加深对这一概念本质的理解，进而真正掌握矩阵的秩并能灵活地运用它解决各种有关问题。

关键词：矩阵的秩；线性方程组；向量组；线性相关性；特征值；二次型

中图分类号：O151.2 文献标识码：A

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要工具。矩阵的理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。

1.矩阵的秩概念

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是十分必要的。首先给出矩阵的几个等价的定义。

定义 ：设 ，矩阵中不为零子式的最高阶数—— 有 阶子式不为零，任何 阶子式（如果存在的话）全为零，称 为矩阵 的秩。记作 。若 是零矩阵，则 。因而 。

从本质上说，矩阵的秩就是矩阵中不等于零的子式的最高阶数。这个不为零的子式的最高阶数 反映了矩阵 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义。

如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的。同样的，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的。由此矩阵的秩也可以这样叙述。

定义 ：矩阵 的行（列）向量组的极大无关组的个数称为该矩阵的秩。

定义 ：矩阵 的行向量组的秩称为矩阵 的行秩；矩阵 的列向量组的秩称为 的列秩。

设 ，即矩阵 中至少有一个 阶子式不为零，那么这个子式所在的 个行向量就是行向量组的一个极大无关组；这个子式所在的 个列向量就是列向量组的一个极大无关组。

定理 ：任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。即矩阵 经过初等变换成为矩阵 时， 。

由于求矩阵的秩与求行向量组的秩都是用矩阵的初等行变换来实现的，矩阵的行秩等于矩阵的秩是显然的。由矩阵的秩的定义，可得下列定理。

定理 ：对于任意一个矩阵 ， 的秩、 的行秩和 的列秩三者相等，通常称为矩阵三秩相等。

推论： 等价的矩阵有相同的秩。

证：因为两个等价的矩阵可以通过初等变换而相互得到。

推论 ：任一矩阵 与它的转置矩阵 有相同的秩，即