感悟分段函数

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分段函数是一种重要的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，在历年高考中也常作为重点来考查。对于分段函数的有关问题，不少考生不知如何下手，现从两个方面予以解读，希望对大家有一定的帮助。

一、概念理解

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数的解析式是各段区间上的对应关系的综合。在处理分段函数问题时，既要紧扣“分段”的特征，又要把各段有机地联系在一起，作为一个整体去把握，使之系统化、条理化。

二、题型强化

题型1：求分段函数的函数值。

例1 已知函数求f（f（9））的值。

解：由9∈（8，12]，得f（9）=16-9=7。

由7∈（4，8]，得f（7）=8。

f（f（9））=8。

评析：求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间内，然后用与这个子区间相对应的对应法则来求函数值。

练习：设，求的值。

参考答案：

题型2：求分段函数的定义域、值域。

例2 求函数定义域和值域。

解：函数f（x）的定义域是区间（-∞，-l]和（-l，+∞）的并集，即R。

当x≤-1时，-1；当x>-l时，

函数f（x）的值域是区间[=1，+∞）和的并集，即。

评析：求分段函数的定义域，即求各段自变量的取值范围的并集；求分段函数的值域，要先求出各段区间内函数的值域，然后求其并集。

练习：已知函数求函数f（x）的定义域和值域。

参考答案：函数f（x）的定义域为区间[0，+∞）和（-∞，0）的并集，即R，值域是区间[0，+∞）和（0，+∞）的并集，即[0，+∞）。

题型3：求分段函数的解析式。

例3 某旅行社组团去某风景区旅游。若每团人数为30或小于30，飞机票每张收费900元；若每团人数大于30，则给予优惠：每多1人，每张机票收费减少10元，直到每张收费降为450元为止。每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元。

（1）写出飞机票的价格关于人数的函数。

（2）问：每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解：（1）设每团人数为x。

由题意得0

设飞机票的价格为y元，则y=

（2）设旅行社获利S元。

当O

当30

易得：当x=60时，旅行社可获得最大利润。

评析：由于旅行团人数的不同，飞机票价格也有所不同，故用分段函数加以研究，应注意挖掘问题的本质，正确理解题意。

练习：已知函数f（x）=|x-1|-|x+2|，用分段函数的形式表示该函数。