怎样由狭义相对论假设推导相对论的几个结论

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人教版高中物理选修教材中，对狭义相对论两个假说有较为简单的讲解，对时间和空间相对性进行了一定讨论，并给出了表达式，还给出了相对论的速度公式、相对论质量的计算式.在实际教学中，发现学生对这些关系式的导出不了解，经常问老师，笔者根据教学的实际和学生理解能力的情况，进行了一定的摸索，掌握了较为简单的相对论表达式的推导过程，在实际教学中得到了广大学生和同行的一致好评.

在人教版普通高中《物理》选修3-4第十五章的《相对论简介》中学习，我们了解到了狭义相对性原理的两个假设：（1）狭义相对性原理――在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的；（2）光速不变原理――真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的.教材对时间和空间的相对性进行了讨论，在此基础上我们学习了长度的相对性和时间间隔的相对性，速度公式、质量换算关系，我们能不能根据学生实际，通过现有的知识进行合理的推导，使学生的物理思维更加顺畅？答案是肯定的.

1空间坐标的洛伦兹变换公式的推导

如图1所示，在零时刻两个坐标系的原点O和O′重合在一起.在S中观察发现，S′系沿着x轴正方向做速度为v的匀速直线运动，从零时刻开始，有一束光从坐标原点射出，经过一段时间，即在S系中经过了时间t、在S′系中经过时间t′，到达空间一点P，P点在S中的坐标为（x，y，z），在S′系中P的坐标为（x′，y′，z′），取x轴为正方向，根据运动学的关系，描述物理量之间的关系.在S系中，有

x=x′+vt，

即x′=x-vt.

那个根据狭义相对性原理，并考虑到速度方向，在S′系中也有一样的规律

x=x′-（-v）t′，

即x=x′+vt′.

为了更好说明狭义相对性原理――在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的，我们可以尝试在上面的两个表达式前面加一个系数γ，得到

x′=γ（x-vt）（1）

x=γ（x′+vt′）（2）

接下来我们运用光速不变原理，光线从原点到达P点这个时间段内，考虑光程，有如下的关系式：

在S系中ct=x=γ（x′+vt′），

在S′系中ct′=x′=γ（x-vt），

将上述的两个式子相乘得到

c2=γ2（c2-v2），

所以γ=11-（vc）2，

将γ代入（1）、（2）式就得到了坐标的洛伦兹变换公式.

2相对论长度公式的推导

在S′系中测量一把尺子，长度为l0，那么在S系中测量长度为多少呢？先要测定尺子两端的坐标，在S系中测定坐标为x1和x2，长度则为

l=x2-x1，

同理在S′系中测量的长度为

l′=x2′-x1′，

将（1）式x2′-x1′=γ[（x2-x1）-v（t2-t1）]，

即Δx′=γ（Δx-vΔt）（3）

不难发现，长度的测量与测量坐标的时间差有关，因为在S系中测量时刻t2、t1是相同的，所以Δt=t2-t1=0，即（3）式可以化解为

l′=γl=l1-（vc）2，

即在S系中测量测量长度当

l=l′γ=l01-（vc）2，

这与教材中的结论完全一致.

同理在S′系中测量一把尺子，长度为l0，到了S′系中可以得到

Δx=γ（Δx′+vΔt′），

导出l=γl′=l01-（vc）2.

3相对论时间公式的推导

在教材中，讨论时间的关系.在S′系中，有只走时准确的钟，钟面显示走时Δτ，则在S系中显示的时间为Δt多长呢？

其实也不难理解，只要将上述长度的关系，应用到运动学表达式中就能得到时间的关系了，如下：

在S系中测量的时间

t=xc=γ（x′+vt′）c=γ（x′c-vct′），

由于t′=x′c代入上式，得到t=γ（t′+vc2x′）（4）

时间间隔为Δt=γ（Δt′+vc2Δx′）.

可以发现，测量时间的长短还与测量的位置差有关.根据已知条件S′系中测量时间Δt′=τ，由Δx′=0，所以得到Δt=γτ，就得到了教材中的表达式Δt=τ1-（vc）2.

4相对论速度公式的推导

教材在第三小节给出了速度的关系式――洛伦兹速度变换公式，以高速火车为例，设车对地面的速度为v，车上的人以速度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，哪么他相对于地面的速度u为

u=u′+v1+u′vc2.

高二的学生有了初步的微积分知识，又具备了长度、时间相对论的关系，就不难推导上述的速度关系了，如下：

教材给出的条件得到u=dxdt=dx/dtdt/dt.

由（2）式得到dxdt′=dx′dt′+v=u′+v，

由（4）式得到dtdt′=1+vc2dx′dt′=1+vu′c2，

代入上式得u=u′+v1+u′vc2.

5相对论质量的关系推导

相对论质量的关系推导要略微复杂一点，但是如果利用上述的结论和其它物理学知识一样能够推导.如图2所示，两个静止质量都为m0的A、B两小球，A以速度为v和静止的B小球发生完全非弹性正碰，可将B球所在的系统作为S系中，A球为S′系，在S系中运动物体A的质量为m，研究m和m0的关系.

取x轴向右为正方向，在S中研究，根据质量守恒得到总质量M：

M=m+m0（5）

设碰撞后整体速度为u，根据动量守恒定律得到

Mu=mv（6）

在S′系中研究，质量守恒定律得

M′=m+m0（7）

设碰撞后整体速度为u′，根据动量守恒定律得到

M′u′=-mv（8）

根据洛伦兹速度变换公式得到

u′=u-v1-uvc2（9）

由上述五式得到 m=m01-（vc）2.