提高学生数学思维能力的有效策略

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数学教学的重要目标之一就是提高学生的数学思维能力.《数学课程标准(实验稿)》指出:中学数学课程应注重提高学生的数学思维能力.一个人数学思维能力的高低,直接影响着他(她)解决数学问题的能力.因此,在数学教学中,数学教师必须把提高学生的数学思维能力作为自己的教学追求.下面笔者就基于自己的教学实践谈谈提高学生数学思维能力的两种有效策略.

一、利用一题多解,训练发散思维

一题多解能有效地启发和引导学生从不同的角度、不同的思路,用不同的方法去分析和解答同一道题,既能充分调动学生思维的积极性,提高他们综合运用所学知识解答数学问题的技能、技巧,又能训练学生思维的广阔性,促进他们多角度地思考问题,还能开阔学生的视野,引导学生灵活地掌握知识的纵横联系,培养和发展学生的创造性,提高学生解决问题的能力.

例1:如图1,过ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别相交于点F和点E.求证:AE:ED=2AF:FB.

评析:在中考第一轮复习《相似三角形》时,我选择了这道题.本题要证线段成比例,而图中没有平行线的条件,故无法直接证明结论成立.为此引导学生作平行线,构造出“A”型或“X”型基本图形,再利用相似三角形进行证明.

通过独立思考,教师点拨,学生得到了十多种证法.下面是其中的几种证法.

证法一:过点B作BN∥CF交AD的延长线于N,如图1所示.则■=■,■=■.因D为BC的中点,故BD=CD,故ED=DN=■EN.故■=■,故AE:ED=2AF:FB.

证法二:过点B作BM∥AD交CF的延长线于M,如图1所示.则■=■;又D为BC的中点,BM∥AD,故BM∥2ED,故■=■,故AE:ED=2AF:FB.

证法三:过点D作DG∥CF交AB于G,如图1所示.则■=■;因D为BC的中点,DG∥CF,故FG=■FB,故■=■,即AE:ED=2AF:FB.

证法四:过点D作DH∥AB交CF于H,如图1所示.则■=■;因D为BC的中点,DH∥FB,故DH=■FB,故■=■,即AE:ED=2AF:FB.

证法五:过点E作GH∥AB分别交BC、AC于G、H,如图2所示.则■=■①;■=■,因D为BC的中点,故■=■②,■=■③. 由①②,得■=■,即■=■,即■=■,故 ■=■,与③比较,得■=■,即AE:ED=2AF:FB.……

评析:作平行线证明比例线段的实质是构造“A”型或“X”型基本图形,在本例中,过每个已知点都可作平行线构造“A”型或“X”型基本图形,而且都有多种作法,进而可使结论获证.这些证法各有千秋,在赏析这些证法的同时,我引导学生归纳总结引平行线的一般方法及注意事项:①选点.选已知或求证中比在同一条直线上的点作为引平行线的点;②引平行线时,尽量使较多的已知或求证的线段成比例.一题多解(证),既能拓宽学生的知识视野,沟通知识的内在联系,又能优化学生的思维品质,促进思维发展,提高思维能力.

二、利用一题多变,促进思维发展

“一个专心的认真备课的教师,能够拿出一个有意义但又不复杂的题目,去引导学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域.”基于此,在数学教学中,教师要从学生的实际出发,恰当选取一些典型的例题、习题进行变式,以此培养学生的探索精神,促进学生的思维发展,从而达到提高思维能力的目的.

例2:如图3,在正方形ABCD中,E是BC边的中点,∠AEF=90°,EF交正方形的外角平分线CF于F点,求证:AE=EF.

评析:这是“一个有意义但又不复杂的题目”,很有探究价值.中考复习《四边形》时,我选用了这道题.全班大多数学生都是通过取AB的中点(设为M),再连接EM,然后证明AME≌ECF,进而得到AE=EF.接着,我引导学生从以下几个方面进行变式训练.

1.改变点E的位置

变式1:在正方形中ABCD,E是BC边上任一点(点B、C除外),∠AEF=90°,EF交正方形的外角平分线CF于点F.结论AE=EF仍成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

变式2:如图4,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过点E作EFAE交∠DCE的平分线于点F,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由.

评析:以上两个变式,实际上是将原题中的 “E是BC边的中点”这一条件弱化为“E是BC边或其延长线上任一点”.变式1虽然条件变了,但∠BAE=∠CEF和∠ECF=135°并未改变,结论AE=EF也仍成立.变式2是2010年湖北省黄冈市的一道中考题.由已知条件即可得AH=CE,∠DAE=∠AEC,故∠HAE=∠FEC,又∠H=∠FCE=45°,故AEH≌EFC,从而AE=EF.由原题到变式2,实际上是将一个静态的几何推理问题变为一个动态的几何探究问题,学生在解决问题的过程中感受了从特殊到一般的数学思想方法,领悟了数学中变与不变的辩证关系.

2. 将题目中的条件和结论互换

变式3:如图5,正方形ABCD在直线HG的上方,BC在直线HG上,E是BC边上一点,以AE为边在直线HG的上方作正方形AEFM.

(1)连接DM,求证:ADM≌ABE;

(2)连接CF,观察并猜测∠FCG的度数,并说明理由。

3. 改变图形的形状

变式4:同变式3.

(3)如图6,将图5中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a,b为常数),E是线段BC上一动点(点B、C除外),以AE为边在直线HG的上方作矩形AEFM,使顶点M恰好落在射线CD上,判断当点E由B向C运动时,∠FCG的大小是否总保持不变,若∠FCG的大小不变,请用含a、b的代数式表示tan∠FCG的值;若∠FCG的大小发生改变,请举例说明.

评析:变式3和变式4是2009年福建省宁德市的一道中考题.第(1)问可根据SAS来证ADM≌ABE;第(2)问要求的恰好是原题的条件,故在原题的启发下容易猜到∠FCG=90°,而解决问题的方法不变;第(3)问是第(2)问的一般情形,从第(2)问到第(3)问充分体现了由特殊到一般的数学思想.

以上变式,与原题相比,扩大了知识的覆盖面,增大了问题的难度.通过这组变式,充分激发了学生的探究兴趣,培养了探索精神;学生不仅深化了对知识和方法的理解,完善了认知结构,感悟了知识间的联系,而且能跳出“题海”,更好地认识本质,掌握规律,提高数学思维能力和创新能力.