因“材”施“探”,引数学课堂精彩迭起

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[摘 要] 新课程倡导让学生主动参与探究学习，本文联系“勾股定理”一课的教学设计，从同课异构角度，分别设计了三套方案，试图说明探究式教学如何实现因材施教.

[关键词] 探究式学习；初中生；数学教材；因材施教

新课程改革十分倡导让学生主动参与探究学习，改变以往那种教师灌输下的学生被动接受式学习. 作为一线教师，我们又该如何面对基础不同的教学对象、不同的教材内容，有的放矢地开展教学呢？探究式的数学课堂在引导学生作大胆的结论猜想时会合适地把握学生现有的认识水平与新学习知识之间的距离，从而最大限度地引发学生探究的兴趣与欲望. 这样一来，如何因“材”施“探”就成为我们一直探索的问题. 下面，笔者从“勾股定理”的三种教学设计入手，权作抛砖引玉.

■ 策略一：课内探究，以合作为基

础展开讨论

1. 大胆尝试，猜想结论（活动1）

（1）作三个直角三角形，使其两条直角边长分别为3 cm和4 cm，6 cm和8 cm，5 cm和12 cm.

（2）分别测量这三个直角三角形斜边的长（c）.

（3）根据所测量的结果填写下表.

在直角三角形中，三边长之间有什么关系？

探索直角三角形三边关系时，学生往往会先思考三边长度之间的一次关系，而较难想到三边长度之间的二次关系. 为此，对于学习能力水平一般的班级，可以直接告诉学生，“前人发现直角三角形三边长度的平方之间存在某种关系”，直接进入平方关系的探索，从而避免学生花费过多的时间于此；对于学习能力水平较高的班级，可以在学生发现未必存在一次关系的基础上，提醒学生思考它们之间是否存在二次关系. 这一环节的实施还可以通过几何画板的操作来实现，通过度量功能让线段的长度明确标注，并通过计算功能将结论明确地表示出来.

通过活动1，学生已经猜想出直角三角形三边长平方之间的关系式，因而作以其三边为边长的正方形是比较自然的. 对于学生学习能力水平较高的班级，可以引导学生思考如何通过图形表示三边边长的平方，从而引入活动2.

2. 操作验证，确认定理（活动2）

（1）在图1中，直角三角形三边长的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴交流. （注：网格中的每一个小正方形的边长均为1）

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（2）图2中的直角三角形是否也满足这样的关系呢？

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设计说明 提供以网格为背影的图形，从面积这一熟悉的角度入手，为学生提供探究的平台，让学生经历“猜想―归纳―证明”的过程，实现认知过程从特殊到一般、从形到数的飞跃，学生可以通过这一过程体会到数学思想方法的重要性.

■ 策略二：研究性学习，以数学发

展史开展研习

1. 课前（活动1）

向学生提供勾股定理的探究合作学习单.

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将学生以四人为一小组进行分工合作：每人从不同的途径搜集、整理资料，如互联网、书籍等，接纳组员不同的意见，经过讨论，以求取得共识，然后由其中的一位执笔来撰写报告. 在报告中，要求学生首先简述小组成员的分工情况. 通过这个活动，旨在使学生对勾股定理有一定程度的了解. 但更重要的是，让学生通过这项活动，感受到与人合作的快乐，提高搜集与处理信息的能力，并体验到数学学习的无穷魅力.

2. 课内（活动2）

以合作学习工作单中所布置的任务为主线，交流、分享合作学习的成果.

3. 课外（活动3）

布置学生根据所收集的资料和上课后的体会，制作一份有关勾股定理的简报，并在班级内交流.

设计说明 舍弃了教材中的合作学习材料，重新安排探究路线，在整个学习过程中，学生通过各种形式的合作学习，不仅了解了数学知识的来龙去脉，而且认识了数学学习的真正含义，更为学生的思维发展留下了巨大空间.

这里的关键在于，学生自主学习的意识和能力较强，以及学习条件允许学生开展课前的活动1.

■ 策略三：直奔主题，数学结合验

证勾股定理

1. 引入勾股定理

（1）复习提问：已经学过直角三角形的哪些性质？

直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

（2）提出问题

如图3所示，甲船以15千米/时的速度从港口A向正南方向航行，乙船以20千米/时的速度同时从港口A向正东方向航行. 行驶2小时后，两船相距多远？

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教师通过引导，让学生将生活中的实际问题转化为纯数学问题，也就是借直角三角形的三边关系来解决“已知两边，求第三边长度”的问题. 学生不难发现，已学的直角三角形的性质无法解决这类问题，从而制造悬念，激发学生的积极性，顺势提出学习关于直角三角形的三边关系――勾股定理.

2. 认识勾股定理

（1）勾股定理的历史背景

①介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载，介绍名人与勾股定理的几个例子. 比如：据说，4000多年前，中国的大禹曾在治水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差.

②1955年希腊曾发行了一枚纪念邮票，邮票上反映的内容就是勾股定理.

（2） 欣赏美丽的勾股树

从小到大，大家见过各种各样的树木，可是你是否见过图4中的勾股树呢？

（3）勾股定理的内容

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

即如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边长，则a2+b2=c2.

（4）勾股定理的验证

师生一起验证勾股定理的正确性. 已知直角三角形ABC的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按图5放置在这个正方形内，就构成了我国历史上著名的弦图.

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① c2可以看成怎样一个图形的面积？

②由弦图你发现了怎样的面积相等关系？如果用等式表示这个相等关系，应怎样表示？化简后你发现了什么？

设计说明 如果学生基础较弱，不具备像策略一中的这种探究能力，或由于条件限制完成像策略二中的合作学习工作单有一定的困难时，本策略索性直接介绍勾股定理的结论及证明，让学生掌握“什么是勾股定理”“为什么有勾股定理”. 将教材中的合作学习材料舍弃不用，也没有安排对勾股定理的探究活动，不为“表演”而活动. 这种策略的选择体现了对教材设计的超越与对学生现状的切实把握.

■ 讨论：如何合理地因“材”施“探”

因材施教是我们对以学生为主体理念的传统诠释，而这里的因“材”施“探”的“材”，可以从学生和探究的主题内容两个方面加以理解. 从学生方面来看，不同家庭背景、不同的学校训练、不同的个体特征的学生，他们的学习基础不一样，教师在设计探究过程时一定要充分考虑到这些区别与差异. 从探究的内容方面讲，学生往往对探究主题的生成没有充足的思想准备. 探究的主题不一定完整，可以是一个问题的某一层面、某一角度或某一点，但其内容必须有一定的可探究性和可操作性. 勾股定理让学生自己进行完全探究是不可能的，我们应当考虑学生的特点再开展具体方案的设计.

另外，重基础知识轻探究、应用的观念陈旧落后，需要改变；而一味重探究、应用轻基础知识，也是一种片面的观念，学生不可能在直接经验的学习中放弃前人探究的结论. 探究性教学必须以基础知识、基本技能的掌握为前提，而在基础知识和基本技能的掌握方面，传统的“接受式”教学有独到的作用. 上述笔者设计的案例努力让传统接受教学与现代探究教学结合起来，努力让每一个学生都能消化与理解，但方案仍有诸多不足，还有待大家指正.