基于RLC谐振回路的傅立叶分解与合成的实现
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摘 要 任何周期性函数都可以表示为三角函数所构成的级数之和。将方波或三角波通过rlc串联谐振回路分解为基波及各谐波的迭加，并用示波器显示基波和各次谐波的相对振幅和相对相位。也可以利用加法器将一组可调振幅和相位的正弦波信号合成为方波或三角波。
中图分类号：O4-33 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2015.01.072
1 周期函数的傅立叶分析
任何周期为（ = ）的函数（）都可以表示为：
（） = + （ + ）
将周期函数（）按上式展开，其物理意义是把一个比较复杂的周期运动看成许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中，第一项称为（）的直流分量，为角频率，（ + ）称为一次谐波，又叫做基波，而（2 + ），（3 + ）等依次称为二次谐波，三次谐波。所谓周期性函数的傅立叶分解就是将周期性函数展开成直流分量，基波和所有阶谐波的迭加。例如，方波函数
数学上可以证明此方波表示为：
（） = （ + 3 + 5 + 7 + ……） = （）[（）]
由上式中可知，方波由一系列正弦波（奇函数）合成，没有常数项。这一系列正弦波振幅为1：：：，它们的初相位同相。
2 周期性波形傅立叶分解的选频电路
我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。然后在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。实验原理如图1所示：
图1 波形分解的RLC串联电路
这是一个简单的RLC电路，其中、是可变的。一般取0.1H ～1H的范围。在选频电路中输入一正弦信号，当输入信号的角频率等于电路的谐振角频率（谐振角频率）时，此时通过电路的电流幅值最大，因而，电路中两端的电压幅值也最大，对于不同频率的正弦输入信号，可改变电路的值，即改变电路的谐振来获得谐振。因此当方波输入RLC串联电路时，只要逐步改变值，即可将其中不同频率的简谐波成分选择出来。RLC串联电路的频带宽度可用品质因数值来表示： = 。式中，为电感的损耗电阻，它的值与通过电流的频率有关。值越大，谐振曲线越尖，选频性能越好，所以实验中我们应该选择值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。如果我们调节可变电容，在频率谐振，将从方波信号中选择出第次谐波。它的值为：（） = 。这时电阻两端电压为：（） = （ + ）。
此式中 = = 0（为串联电路感抗和容抗之和；在谐振状态时 = 0）。 = ，为电路中电流的幅值，为串联电路的总阻抗。所以
（） = （） （1）
此时，阻抗 = + + + = + + 。其中，为方波或三角波电源的内阻；为取样电阻；为电感的损耗电阻；为标准电容的损耗电阻（值常因较小而忽略）。
由于电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，电感阻值随频率的增加而增加。总阻抗也随之增加，取样电阻上的输出幅值不再与次谐波的幅值成正比。为消除此系统误差，我们要对各次谐波振幅的测量值进行校正。设基波下的电压输出幅值为，电感的损耗电阻为，总阻值 = + + ，第次谐波下的电压输出幅值为，电感的损耗电阻为，总阻值 = + + ，则由（1）式得：
（2）
从（2）式中解出次谐波的幅值与基波幅值之比为：
因此校正后的电压值为
（3）
3 实验过程及结果观察
3.1 方波的傅立叶分解
（1）计算RLC串联电路对1KHz，3KHz，5KHz正弦波谐振时的电容值C1C3C5的理论值。由谐振角频率和 = 2，可计算 = 。
（2）连接线路，按图2接好线路。取样电阻R上的电压信号输入到示波器CH2（Y）通道上，选择CH2（Y）通道适当的偏转因数（volts/div），适当的水平扫描速率（sec/div），逐步改变电容值，可在示波器上观察到谐振状态时R两端的各谐波信号为正弦波。
图2 方波信号傅立叶分解接线示意图
（3）将傅立叶分解合成仪1kHz参考正弦信号输入到示波器CH1（X）通道，扫描速率（sec/div）旋钮置于X-Y（逆时针旋到底），与分解出的信号（在示波器Y通道）可构成李萨如图形。
3.2 方波的傅立叶级数合成
（1）将1KHz正弦波（直接而不经加法器）输入示波器CH1（X）通道，而CH2（Y）通道分别输入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波，扫描速率（sec/div）旋钮置于X-Y（逆时针旋到底），调节3KHz、5KHz、7KHz各谐波的相位，使之与1kHz的谐波同相，再观察其他倍频信号与参考信号的相位关系，见图3。
图3 基波和各谐波同相时合成的李萨如图形
（2）调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比为1：：：。（3）将1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化，可以看到：（1）合成的方波振幅与它的基波振幅比为1：；（2）基波上迭加谐波越多，越趋近于方波。（3）迭加谐波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。
参考文献
[1] 曾阳琳，唐孟希.用实验观察周期函数的傅里叶分解[J].物理实验，2001（1）.
[2] 沈元华等.基础物理实验[M].高等教育出版社，2003.