你有二元变量我有三种手段

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函数的最大最小值问题是数学中综合性最强的问题之一，一直以来都是考试的热点.当然，我们所说的函数都只有一个自变量，因此可以称它们为一元变量的最值问题.最近几年，含有两个变量的最值问题义引起了越来越多的关注，在各类考试中频频出现，涉及的题型有求最值、求范围、恒大恒小、不等式是否成立等问题，我们统称之为二元变量的最值问题.

与函数的最值相比，处理二元变量的最值问题所要用到的知识和方法更为宽泛，综合性及灵活性更强，形式变化也更加纷繁，对我们的数学能力提出的挑战也更大.但是，魔高一尺、道高一丈，我们有三种手段可以将此难题消解，即化为一元用函数、保留二元用不等式、引入第三元用线性规划.详述如下：

一、化为一元用函数例1 若α，b是实数，且α+2b=4，求α2 +b2的最小值.

分析 α和b都在变，但是它们之间有一个约束条件，而且约束条件是一个等量关系，因此α，b不是两个独立的变元，可以用一个表示另一个，把二元变量转化为一元变量，归结为函数问题.以发现这个区域比图1中的区域扩大了.“另解”就是用这个扩大的区域作为可行域来研究的，显然错误了.最本质的原因是

不是等价变形，α，b不是互相独立的变量.

四、辩证地看待一元和二元

掌握上述三种方法，就可以解决中学遇到的二元变量最值（范围）问题.那么问题来了，三种方法哪种好？

这也是所有一题多解类题目都会面临的疑问.要认清这个问题首先要弄明白什么是“二元变量”.比如上面的例1～5中都有两个变量，却含有一个等式约束条件，因此本质上自由变量只有一个，因此最终可以化为一元变量问题.不同的观察角度将带来不同的方法选择，彼此可能没有“好差”之别，适合的就是最好的，这种辩证的观点，对于理解数学中的“策略性”知识以及培养思维的灵活性和批判性很有作用.就如前面最简单的例1来说，如果我们发现了其中的几何意义，就可以求直线α+2b=4上的点到原点距离的最小值，再平方以后就可得到α2 +b2的最小值，

另外的如：