超声空化气泡运动过程的数值分析
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摘要： 文章基于考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼的气泡运动方程，采用数值分析方法研究了在不同声场频率和气泡初始半径条件下单一空化气泡的动力学过程。
Abstract： Based on the bubble dynamic equation under the consideration of liquid surface tension, viscosity and radiative resistance, this essay adopted numerical simulations to investigate single cavitation bubble dynamics with different kinds of acoustic driving frequencies and bubble initial radiuses.
Key words： ultrasonic cavitation；cavitation bubble；numerical analysis
中图分类号：G30文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）01-0196-02
0引言
随着科学技术的发展，超声已在众多领域得到了广泛的应用，在这些应用中，超声空化是引发各种物理、化学和生物效应的主要机理，这些效应与瞬态空化气泡崩溃时所产生的高温高压等现象有关。在研究单一空化气泡动力学过程的方法中，数值分析是除理论和实验方法之外的一种研究方法，至少有两方面原因表明它是必要的。首先，由于气泡运动过程中高度的非线性，使得从理论上建立能够精确描述空化过程的方程实际上是不可能的，其次，微米级大小的空化气泡半径和持续时间为微秒至纳秒级的气泡运动周期使得实验测量也难以进行。本文基于考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼的气泡运动方程，采用数值分析中Runge-Kutta方法研究在不同声场频率和气泡初始半径条件下单一空化气泡的运动过程。
1气泡动态的数值分析
考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼的单一空化气泡运动方程：
R+=P+-P-P-
-+P+-P（1）
方程（1）是二阶常微分方程，使用Runge-Kutta方法求解时应当用替换法化为形如y′=f（x，y）的一阶微分方程组，再加以使用。方程（1）可化为下列一阶方程组：
y=R′y′=f（t，R，R′）=-（R′）+P+-P-P--R′+P+-PR?佐=R，y?佐=R′?佐=0
若设时间步长为h，则使用Runge-Kutta方法求每个离散时间点上对应气泡半径大小Rn的递推公式为：
R=R+hR+k+k+kR=R+k+2k+2k+kk=hft，R，Rk=hft+，R+R，R+k=hft+，R+R+k，R+k=hft+h，R+hR+k，R+k
设声场激励波形为P=Psin（ωt），若声压P
f=P+-（2）
同时假设气泡运动过程为等温过程，即方程（1）中的泡内气体多方指数n=1。计算时与液体相关的各参数取值分别为：液体密度ρ=1000kg/m3，液体表面张力系数σ=0.076N/m，液体粘滞系数μ=0.001kg/（m•s），液体中声速c=1481m/s，液体中的静压P=1.013×105Pa。
下面研究单频声场激励下，声场频率f和气泡初始半径R对气泡动态的影响。具体为计算f和R在不同的取值条件下，空化气泡半径随时间的变化曲线，即R（t）曲线。
1.1 声场频率对气泡动态的影响给定气泡初始半径R，通过改变声场频率f的大小，讨论fa的变化对气泡动态的影响。设声场激励为P=-Psin（2πft），P=5.0×105Pa，R=0.6μm，由公式（2）得到其自然共振频率f=7.55MHz。若取f=20MHz，则反映气泡动态的R（t）曲线为图1所示，气泡在多个声波周期内做复杂振荡。
若取f=7MHz，则R（t）曲线为图2所示，气泡在一个声周期内即趋向崩溃。需要指出，这里所说的趋向崩溃是指气泡半径在增大到最大值后急剧向R=0趋近。
气泡在不同声场频率激励下其趋向崩溃的程度是不同的。图3显示了声场频率从4MHz变化到10MHz时，气泡在趋向崩溃时的半径与其初始半径之比R/R0的变化趋势。
通常认为:当超声波频率与气泡的自然共振频率相等时，超声波与气泡之间就达到了最有效的能量耦合，气泡将迅速崩溃。但数值计算的结果表明，当f=f时，气泡半径在通常所指的崩溃阶段趋向0，但不为0；当f小于f至一定限度时，气泡半径才在10-5数量级上趋向0，这时可以认为气泡彻底崩溃；当f大于f至一定限度时，气泡可在多个声波周期内稳定振荡，且振荡波形复杂无规律。
同时大量实验研究表明，随着频率升高，声空化过程变得难以发生。对这种现象的定性解释为：频率增高，声波膨胀相的时间相应变短（如f=20kHz，其膨胀时间为25μs；如f=20MHz，其膨胀时间为25ns），气泡核来不及增长到可产生效应的空化气泡，或者即便空化气泡可以形成，但由于压缩相时间也短，空化气泡可能来不及收缩至发生崩溃。为使在较高频率下产生空化，可以提高声强，即空化阈值将随频率升高而增大。此外，从声波的传播特性可知，频率升高，声波的传播衰减将增大，这也使得空化强度减弱以及可能发生空化的区域减小。
1.2 气泡初始半径对气泡动态的影响给定声场频率f，计算气泡取不同初始半径R时的动态曲线R（t）。设P=P=1.013×105Pa，f=20KHz，这是超声工业清洗及声化学中较常使用的频率，按照公式（2）与其对应的共振气泡半径为R=150μm。图4为R从60μm变化到160μm气泡趋向崩溃时R/R的变化趋势。同样可以看出，当声场频率一定时，在该频率上自然共振的空化气泡并没有彻底崩溃，而是那些半径小于自然共振半径至一定限度的气泡才趋向彻底崩溃，半径大于该自然共振半径的气泡将持续振荡若干周期而不崩溃。
一般情况下，当时，计算得出下述结论：对初始半径大于共振半径的气泡，将发生复杂的持续振荡，一般不会崩溃；对初始半径小于共振半径的气泡，随着声压负压相的到来而不断增大，当声压正压相到来时，气泡先因惯性继续生长到最大半径，然后迅速收缩，直到崩溃。
2结论
本文采用Runge-Kutta数值分析方法研究在不同声场频率和气泡初始半径条件下单一空化气泡的运动过程，数值分析结果表明，当给定气泡初始半径大小时，声场频率在小于气泡自然共振频率至一定限度时，气泡将迅速崩溃，而大于该共振频率时，气泡将持续振荡而不崩溃，即随着声场频率升高，声空化将难以发生；当给定声场频率时，只有其半径小于与该频率对应的气泡自然共振半径至一定限度的气泡才会彻底崩溃，半径大于该自然共振半径的气泡将做持续振荡。
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