突破疑难我有招
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《简单的几何图形》作为初中几何的第一部分，是进一步学习三角形、四边形以及圆等复杂图形的基础. 因此，解决好本节的疑难问题，并且掌握一些常见的解题方法，也直接为后面的学习服务. 其主要类型有动手操作型、归纳探究型、学具拼接型、构造型、几何计数型、阅读理解型、面积综合型、基本作图型.
（2011河北）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是图2正方体中的（ ）
A． 面CDHE B． 面BCEF
C． 面ABFG D． 面ADHG
此题可以从两个方面入手. 一是利用想象法来解，即关注图1中带有红心的上面的那个等边三角形，可以发现这个等边三角形的一条边在红心所在的面上，而等边三角形所在的面与红心所在的面相邻，故选A. 另外，也可以运用操作法来解，即自己先画出左边的图形，再剪下折叠一下即可得到正确答案.
A.
（1）美术课上，老师要求同学们将图3所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（ ）
（2）下面四个选项是某长方体的展开图，其中错误的是（ ）
（2011江苏连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
……
现请你对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（S表示面积）.
问题1：如图4，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC. 经探究，S四边形P1R1R2P2=SABC，请证明.
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的ABC拼合成四边形ABCD，如图5，Q1，Q2三等分边DC. 请探究S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间的数量关系.
问题3：如图6，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC. 若S四边形ABCD=1，求S四边形P2Q2Q3P3 .
问题4：如图7，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4 . 请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式.
对于问题1，由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得. 在问题2中，由问题1的结果和所给结论（2）――有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比即可得到答案. 在解问题3时，由问题2的结果经过等量代换可求. 对于问题4，由问题2可知S1＋S4＝S2＋S3=S四边形ABCD .
问题1：因为P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，所以P1R1∥P2R2∥BC． 所以AP1R1∽AP2R2∽ABC，且面积比为1 ∶ 4 ∶ 9． 所以S四边形P1R1R2P2 ＝SABC＝SABC .
问题2：连结Q1R1，Q2R2，如图8，由问题1的结论可知S四边形P1P2R2R1＝SABC，S四边形Q1Q2R2R1=SACD . 所以S四边形P1P2R2R1+S四边形Q1R1R2Q2＝S四边形ABCD . 又因为P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC，可得P1R1 ∶ P2R2＝Q2R2 ∶ Q1R1＝1 ∶ 2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1 ． 所以∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A． 所以∠P1R1Q1＝∠P2R2Q2 ． 由结论（2）可知SP1R1Q1=SP2R2Q2． 所以S四边形P1Q1Q2P2＝S四边形P1P2R2R1＋S四边形Q1R1R2Q2＝S四边形ABCD ．
问题3：设S四边形P1Q1Q2P2=A，S四边形P3Q3Q4P4=B，S四边形P2Q2Q3P3=C，由问题2的结论可知A=S四边形ADQ3P3，B=S四边形P2Q2CB，所以A+B=（S四边形ABCD＋C）= （1+C）．
又因为C＝（A+B+C），即C＝（1＋C）＋C． 整理得C=，即S四边形P2Q2Q3P3=.
问题4：S1＋S4＝S2＋S3 ．
平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
（1）AB平行于CD．如图9，点P在AB，CD外部时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因∠BOD是POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，所以∠BPD=∠B-∠D． 如图10，将点P移到AB，CD内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论.
（2）在图10中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图11，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）.
（3）根据（2）的结论求图12中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．