中考试题中的全等三角形
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全等三角形的知识是研究几何图形的基础,应用十分广泛.近年来中考命题者对此知识点的考查给予了极大的关注,下面仅以2009年部分省、市的中考试题为例予以解析,以期引起大家的重视.
一、典例精析
1.对判定方法与性质定理的考查
例1(江西省)如图1,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 ABC≌ADC的是().
A.CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
解析:根据图形可知,添加条件A,可利用SSS来判定ABC≌ADC;添加条件B,可利用SAS来判定ABC≌ADC;添加条件D,可利用HL判定ABC≌ADC;而添加条件C,则不能判定这两个三角形全等,因为没有SSA的判定方法.
点评:在三角形全等的五种判定方法中,不包含“SSA”和“AAA”这两种情形.
例2(吉林省)如图2, AB=AC,ADBC于点D,AD=AE,AB平分∠DAE且交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
解析:根据题设条件可知,图中全等三角形有:
①ADB≌ADC
②ABD≌ABE
③AFD≌AFE
④BFD≌BFE
⑤ABE≌ACD(写出其中的三对即可)
下面以ADB≌ADC为例进行证明.
证明:ADBC,∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt ADB和RtADC中,
AB=AC,AD=AD,
RtADB≌RtADC(HL).
点评:本题是开放性问题,选取任何一对全等三角形证明均可,证法应尽可能简洁,本题除了上述证法外,也可用“SAS”的判定方法进行证明.
2.利用全等形进行相关计算
例3(河北省)如图3,等边ABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC上的点,将ADE沿直线DE折叠,使点A落在点A′处,且点A′在ABC外部,则阴影部分图形的周长为cm.
解析:由折叠的对称性可知ADE≌A′DE,所以A′D=AD,A′E=AE,从而阴影部分图形的周长等于BD+A′D+A′E+CE+BC=BA+AC+BC=3cm.
点评:将一个图形沿某条直线折叠(对称变换),得到的新图形与原图形是全等的.
例4(重庆市)已知,如图4,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DEAC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.
(1)求证:BG=FG;
(2)若AD=DC=2,求DF的长.
解析:(1) 连接AG,∠ABC=90°,
DEAC于点F,
∠ABC=∠AFE.
又AC=AE,∠EAF=∠CAB,
ABC≌AFE,
AB=AF.
AG=AG,AB=AF,
RtABG≌RtAFG.
BG=FG.
(2)连接EC,由AD=DC,DEAC,知DE为线段AC的垂直平分线,AE=EC,
又AE=AC,
AEC为等边三角形.
∠EAC=60°,∠DAF=30°,
在RtAFD中,AD=2,∠DAF=30°,
DF=■AD=1.
点注:本题综合考查了三角形全等的证明以及利用垂直平分线、30°角的性质求线段的长度的方法.
3.图形的全等变换问题
例5(吉林沈阳)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按如图所示方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE;
(2)若将图5中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°
(3)若将图5中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°
解析:(1) 如图8,连接BF,
ABC≌DBE,
BC=BE,AC=DE.
∠ACB=∠DEB=90°,
∠BCF=∠BEF=90°,
又BF=BF,
RtBFC≌RtBFE.
CF=EF.
又AF+CF=AC,
AF+EF =DE.
(2) 画出变换后的图形如图9所示,(1)中的结论AF+EF=DE仍然成立.
(3) (1)中的结论不成立,此时AF、EF与DE的关系为AF-EF=DE.理由如下:
如图10,连接BF,ABC≌DBE,
BC=BE,AC=DE.
∠ACB=∠DEB=90°,
∠BCF=∠BEF=90°.
又BF=BF,
RtBFC≌RtBFE.
CF=EF.
又AF-CF =AC,
AF-EF =DE .
(1)中的结论不成立,正确的结论是AF-EF=DE .
点评:图形的全等变换方法有对称变换、平移变换、旋转变换以及由上述方法组成的复合变换.对称、平移与旋转变换后的图形与原图形是全等形,善于识别变换后的图形,灵活应用三角形全等的性质及其判定进行证明是求解此类问题的关键.
4.图形中的动点问题
例6(内蒙古包头)如图11,已知在ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使 BPD与CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇?
解析:(1)① 当点P、Q同时运动1秒后由题意知,此时BP=3,PC=8-3=5,CQ=3,而BD=■AB=5,又∠B=∠C,故BPD≌CQP.
② 由点P、点Q的运动速度不等知BP≠CQ,又BPD≌CQP,∠B=∠C,则BP=PC=4,CQ=BD=5,
点P、点Q运动的时间t=■=■(秒).
vQ =■=■=■(厘米/秒).
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意得■x=3x+2×10,解得x=■秒.
点P共运动了■×3=80(厘米).
80=2×28+24,
点P、点Q在AB边上相遇.
经过■秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.
点评:本题为动态几何图形与代数的综合探究题,综合考查了三角形的全等与方程的有关知识,这类问题是近几年中考命题的热点,解题的一般思路是化动为静,正确分析动点运动(图形移动)过程的变化规律,运用方程思想与数形结合思想解决问题.
二、中考精练
1.(河南省)如图12所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点,试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
2.(上海市)已知线段AC与 BD相交于点O,连接AB、DC,点E为OB的中点,点F为OC的中点,连接EF(如图13所示).
(1)添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,
求证:AB=DC.
(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加条件①、③,以②为结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题2,则命题1是 命题,命题2是 命题(选择“真”或“假”填入空格).
3.(湖南常德)如图14,若ABC和ADE为等边三角形,M、N分别为EB、CD的中点,易证CD=BE,AMN是等边三角形.
(1)当把ADE绕A点旋转到如图15所示的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立, 请说明理由;
(2)当ADE绕A点旋转到如图16所示的位置时,AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,ADE与ABC及AMN的面积之比;若不是,请说明理由.
4.(山东省)如图17,已知在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于点F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图17中的BEF绕B点逆时针方向旋转45°,如图18所示,取DF的中点G,连接EG、CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图17中的BEF绕B点旋转任意角度,如图19所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出其他什么结论?(均不要求证明)