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题目 :(2013年江苏扬州第27题)
如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过P作PEPA交CD所在直线于E.设BP=x,CE=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围;
(3)如图2,若m=4,将PEC沿PE翻折至PEG位置,∠BAG=90°,求BP长.
解析 :
由相似基本图形,易证得:ABP∽PCE,从而得到y与x之间的函数关系式.
(1)y=- 1 2 x2+ m 2 x.
(2)根据(1)中求出的y与x的函数关系式,利用二次函数性质,求出其最大值,列不等式(或运用数形结合的方法)确定m的取值范围.
方法1 : 因为y=- 1 2 x2+ m 2x=- 1 2 (x- m 2 )2+ m2 8 .
所以当x= m 2 时,y取得最大值,最大值为
m2 8 .
因为点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,
所以 m2 8 ≤1,解得
-22≤m≤22.
因为m为正数.
所以m的取值范围为: 0
方法2 :因为点E总在线段CD上,所以CE≤1即:
- 1 2x2+ m 2 x≤1.
化简得:
x2-mx+2≥0.
因为x2-mx+ m2 4 ≥ m2 4
-2,所以 m2 4 -2≤0.
解得-22≤m≤22.
所以0
方法3 :因为点E总在线段CD上,所以CE≤1,即:
- 1 2 x2+ m 2 x≤1.
得x2-mx+2≥0.
令S=x2-mx+2,则此二次函数图象为抛物线且开口向上,
而S≥0,所以抛物线与x轴的交点为1个或0个.
根据二次函数与一元二次方程的关系,则方程x2-mx+2=0的根为两个相等的实数根或无解,所以根的判别式小于或等于0.即: m2-8≤0.
所以-22≤m≤22,所以
方法4 :如图3,
因为 y=- 1 2 x2+ m 2
x=- 1 2
(x- m 2 )2+ m2 8 .
所以当x= m 2 时,y的最大值为1.
即当点P运动到BC的中点时,y有最大值,此时m亦为最大值
.取AE的中点O,连OP,作EFAB,易知:四边形BCEF为矩形,OP为梯形ABCD中位线,则EF=BC=m,AF=1,OP= 3 2 ,所以AE=2OP=3.
所以在RtAEF中,AE2+EF2=AE2,m2=8,m=±22
因为m为最大值,
所以0
(3)在翻折的操作中,经常有相等的量转化,并且构造直角三角形利用勾股定理或相似三角形,得到一元二次方程并求解.
由折叠可知:PG=PC,EG=EC,∠GPE=∠CPE.
又因为∠GPE+∠APG=90°,∠CPE+∠APB=90°.
所以∠APG=∠APB.
因为∠BAG=90°,所以AG∥BC.
所以∠GAP=∠APB,所以∠GAP=∠APG,所以AG=PG=PC.
方法1 :
如图4所示,分别延长CE、AG,交于点H,
易知ABCH为矩形,HE=CH-CE=2-y,GH=AH-AG=4-(4-x)=x
在RtGHE中,由勾股定理得:GH2+HE2=GE2即
x2+(2-y)2=y2.
化简得:x2-4y+4=0①,由(1)可知:y=-
1 2 x2+ m 2 x,这时m=4,
所以y=- 1 2 x2+2x.
代入①式,得:x2-8x+4=0,解得x= 2 3 或x=2.
所以BP的长为 2 3 或2.
方法2 :如图5所示,
过点P作PHAG于点H. 易知四边形ABPH为矩形
,所以AH=PB=x,PH=AB=2.
因为AG=PG=PC=4-x,所以HG=AG-AH=4-x-x=4-2x.
在RtPGH中,由勾股定理得:GH2+PH2=PG2即
(4-2x)2+22=(4-x)2.
化简得:3x2-8x+4=0,解得:x= 2 3 或
x=2.
所以BP的长为 2 3 或2.
方法3 :如图6所示,
分别延长CE、AG,交于点H,作PFAG于点F,
易知四边形ABCH为矩形.GH=4-(4-x)=x,HE=2-y,
由(1)可知:y=- 1 2 x2+ m 2 x,此时m=4,
所以y=- 1 2 x2+2x.
所以HE=2-(-
1 2 x2+2x)= 1 2 x2-
2x+2.
易知四边形ABPF为矩形,
所以AF=x,所以GF=4-x-x=4-2x,PF=AB=2.
由折叠可知:∠PGE=∠C=90°,
所以易知PGF∽GEH.
所以 PF GH = FG HE ,即
2 x = 4-2x
1 2 x2-2x+2得3x2-8x+4=0.
解得:x= 2 3 或x=2.
所以BP的长为 2 3 或2.
方法4 :如图7所示,
过点G作GHAP于点H,前面已证:AG=PG=4-x.
所以APG为等腰三角形,
因为GHAP,所以AH= 1 2 AP.
易证得RtABP∽RtGHA.
所以 AP AG =
BP AH 即
AP 4-x =
x1 2 AP ,所以
1 2 AP2=x(4-x).
所以AP2=2x(4-x).
在RtABP中,由勾股定理得:AP2=AB2+BP2即
2x(4-x)=22+x2.
整理得:3x2-8x+4=0,解得:
x= 2 3 或x=2.
所以BP的长为 2 3 或2.
评注 :本题是代数几何综合题,包含了全等三角形、相似三角形、勾股定理、折叠、二次函数、动态问题等知识点,本文就(2)、(3)问 进行了多角度、多方向、多途径的思考,经常进行一题多解的训练会培养学生运用知识的灵活性和创造性,对发展数学思维能力会起很大作用.