对高三数学复习实效的思考

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摘要 高三数学复习效率不高是普遍存在的事实，究其原因，可能是复习过程缺乏整体规划，概念复习罗列化和习题训练表面化的现象频发.要走出高三复习的种种误区，我们首先要从第一轮复习做起.

关键词 一轮复习；整体规划；深化概念；解题训练

一、一个令数学教师尴尬的话题

就全国范围看，绝大多数省区的数学高考试卷，都是试题稳定，知识点分布合理，基本题比例偏高，关注学生数学素养的考查，如基本计算、直观感知、数形结合、逻辑判断，对课堂教学有强力的素质教育导向.即使是压轴题，也往往不偏不怪，体现出对考生构建模型、一般与特殊间相互转化等综合能力的合理考查.

针对这样一份试题，笔者与许多同行交流过意见，大家的共识是，对数学成绩中等的考生，只要训练得法，考120分左右，不是很高要求.但事实上，除个别地区的顶尖中学外，大片地区的成绩反差令人讶异，以2004年的课标1卷为例，一个地区的资源优质校，数学平均成绩仅90分左右，个别数学成绩在100出头的考生，就可以被名牌大学录取，这从一个角度反映出整个地区的数学教学水平.

再看看我们广大的高三一线老师，他们与学生一道加班加点，不知批改了多少作业，讲了多少习题，不能说不敬业；最后没办法，只能是不情愿地挤占学生的睡眠时间，不能说不奉献.他们都有一个迫切的愿望，那就是拼一个过得去的成绩，给社会一个合理的交代.但严酷的事实不得不使我们拷问自己，大家夜以继日，不辞辛劳地高三一年复习，效果都去哪了？客观现状给我们的当头棒喝是：大面积的数学复习效率不理想，对于占考生多数的中、差生来说，大量的难题训练纯属“陪绑”，容易题“会而不对，对而不全”的情况严重，120分的预期成了天方夜谭.

二、症结剖析

探寻高三数学复习效率不高的原因，是一项大工程，仅凭笔者的思考，难免挂一漏万，但有一点可以确信，那就是与教师群体的专业发展水平有关.通过笔者对大量高三数学复习课的调研，初步做出如下判断.

1.一年复习缺乏整体规划

从当前教学实际看，“三年功课两年完，留下一年做复习”是不争的事实，我们无意评判它合理与否，只想尊重现实，把一年复习时间充分利用，合理规划，提升复习效率.而笔者看到的事实是，一、二轮复习基本无区别，复习资料差异不大反复用，囫囵吞枣、夹生饭反复炒的现象严重.为此，笔者曾在文中[1 ]，把高三复习比作“盖大楼”，一、二、三个轮次的复习分别相当于“打地基” “建主体”和“精装修”.

所谓“打地基”，意指侧重整体布局，构建知识网络，强调知识的逻辑化、结构化把握.要实现这样的预期，就要根据学生情况，控制习题难度，降低技能、技巧的要求，深化理解基本概念和落实通性通法，强调用“小问题”，说明“大道理”（基本规律、思想方法）.而“建主体”通常以专题复习的形式，构建知识主干，通过解一定量的综合题，达到巩固知识、熟练技法、提炼思想、发展能力的目的.“精装修”则是收官阶段，通常围绕模拟考点进行比较深入细致的讨论，同时注意查漏补缺，根据模拟考试的情况，加强教学诊断，对同学实施有针对性的考前辅导.所以，三个轮次的复习目的要求不一，内容错落有别，难度循序渐进，而不是简单地重复，更不是“夹生饭”反复炒.

联系目前大多学校的复习现状，三个轮次的复习做到内容错落有致，循序渐进，并非易事.究其原因，我们不难发现，高三一年的复习，绝大多数教师要以一本或多本教辅资料为依据，组织复习课，虽然这些教辅资料，良莠不齐，但形形、分门别类的题型应有尽有.所以，这对于以解题教学为主要内容的二、三轮复习来说，影响不大，而按照“打地基”的要求做一轮复习，我们需要追求知识的逻辑化、结构化把握，需要体现控制习题难度，降低技能、技巧的要求，深化理解基本概念和落实通性通法的教学意图，恐怕绝大多数教辅书的编写，并非遵循这样的理念，所以，一轮复习的备课需要教师做深度的加工和再创造，这无疑对数学教师的专业水准和工作负担，形成较大的挑战！于是，多数教师都选择了“随大流”，日复一日、年复一年，做着熟悉的、重复性的工作.一些老师经常这样议论，在高一、二两个年级，还需要做一些教学设计，而高三备课要轻松一些，甚至有时不用备课，这些议论的背后，显然佐证了我们的判断.

2.概念复习罗列化

大量复习课上，教师对概念复习的处理，不外通过学案填写关键词，或利用信息技术展示，甚至勾画逻辑框图，虽然形式不尽相同，但都没有摆脱“罗列”的实质，就拿含金量最高的逻辑框图来说，如果仅凭在教师主导下勾画，学生只能从表面上了解概念与概念的联系，不可能有很深的内化.何况更多的课堂表现为 “罗列”，这对优等生来说，不新奇，无刺激，不会积极参与；对后进生来说，光凭“罗列”会不了，记不住，所以，也无兴趣.我们不妨把“先罗列概念，再对应性的例题选讲”型的复习课，戏称为“油水分离”课，这类复习课方式偶尔一用，也无可厚非.但一味这样上复习课，效果必然大打折扣.

“数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以概念为基础的.” [2 ]所以，理解概念是一切数学活动的前提，从这个角度说，发生在学生身上同类问题反复错，甚至“讲n遍还不会”的现象，很难完全归咎于学生的“技能”，而学生领会概念的先天不足，恐怕是更重要的原因.下文将介绍复习概念更好的方法.

3.习题训练表面化

纵观高三一年的复习，我们绝对把教学重心放在解题训练上，那为什么还能冠之“表面化”呢？这种“表面化”来自两方面弊端.

其一，由于高三概念复习难以达成逻辑化、结构化的预期，再加上高一、二概念学习的先天不足，我们的解题训练不可能以坚实的概念理解为基础，难以提炼解题活动背后的思想方法，也无法实现思想方法调控解题策略的稳定状态，只能依靠大量练题实现对知识与技能的全面覆盖，对各种题型的解题技巧、方法乃至原则的记忆与模仿.[3 ]

其二，复习课上，“罗列考点、讲解例题、强化练习”三部曲方式屡见不鲜.一些教师不考虑“罗列考点”对落实本节课的教学目标有何实际意义，不考虑例题教学中的解法罗列，强化识记模仿，对学生提升解题能力所带来的负面影响，一味采用“大容量、高起点、快推进”的课堂节奏.殊不知，量大不等于质高，如果教学过程缺乏点滴入地、润物无声的细腻，学生不能亲历解决问题策略的制定，不能在执行方案中质疑、修正与完善，解题效率将大打折扣.

两大弊端，都反映出解题训练的表面化，最终造成学生过分依赖题型对号、机械模仿，对熟悉的题型依靠本能反应，对不熟悉的题型绝难做到凭借相对稳定的思想方法，独立思考、攻坚克难，平时还可以消极的等待外援，但考场上，题型一变，束手无策.

三、对一轮复习的建议

基于这样的思考，我们迫切需要大面积提升高三数学复习的实效.而高三一年中，一轮复习的效果至关重要，它制约着后续复习的成效，所以，要走出高三复习的种种误区，我们必须从一轮复习做起.为此，笔者谨对一轮复习如何实现“打地基”的教学意图，提几点教学 建议.

1.复习目标的制定宜实不宜高

为宏观调控教学活动，全面提升复习实效，我们提出几条目标供参考：

（1）追求相关概念体系的逻辑化、结构化把握.

（2）降低综合性，强调“小问题，大道理”，重心放在各知识板块的基本思想、基本技能与通性通法上.

（3）在培养学生通过阅读理解，养成落笔有据、会而必对的思维品质方面下功夫，使学生凭借严密的思考，规范的表达，会到哪做到哪，不会不做心里不慌.

（4）培养学生面对陌生的问题情景，挖掘直白与隐含信息，实现信息直观化（图形、图像）、符号化（代数表达）的能力，最后综合运用数学知识，实现化简、划归，解决问题的能力和心理素质.

四个目标实而不高，但揭示了一轮复习概念复习与解题训练的原则和方法.

2.追求相关概念的逻辑化、结构化把握

为什么要实现相关概念的逻辑化、结构化，这是复习课目的、意义所决定的，相关概念的提取，等价命题的划归，无不与此有关.而要实现这样的预期，凭借“罗列”基本无效，笔者的经验是，凭借“问题驱动”，把学生推至问题解决的前沿，让学生在解决系列问题中相对独立地获取概念，以实现逻辑化、结构化把握.

案例1：“三个二次”概念的复习

问题1.已知三个正数a，b，c成等比数列，判断下列命题正误.

（1）方程ax2+bx+c=0有实数根；

（2）二次函数f（x）=ax2+bx+c无零点；

（3）不等式ax2+bx+c>0的解集是（-∞，+∞）；

（4）不等式ax2+bx+c

（5）抛物线f（x）=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧.

问题2.请同学尽可能多的写出，与“a>0时，方程ax2+bx+c=0无实根”等价的命题.

设计意图：问题1立足于学生的认知基础，学生如能相对独立地完成五个问题的正误判断，再完成问题2，写出下列等价命题，当问题不大.

当a>0时，方程ax2+bx+c=0无实根 b2-4ac

>0 f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴无交点且在x轴上方 ax2+bx+c>0的解集为R ax2+bx+c≤0的解集为空集.

案例2：立体几何平行关系的复习[4 ]

问题1.如果直线a//b，经过b的平面M在什么条件下，满足a//M？问题2 在a//M前提下，如何找到M中与a平行的直线？

问题2.在问题2中，过直线a的平面N在什么条件下，满足M//N？

问题3.在M//N的条件下，如何在M中找到平行于N的直线？

如何分别在M，N中，各找一条相互平行的直线？

设计意图：在几何单元复习中，若采用“油水分离”方式，即先复习系列定理，再配备练习的课，这样做虽也有复习作用，但却无法实现单元知识 “逻辑化、结构化” 的复习目标.而我们如此设计，四个问题渐次深入，构成“线线平行、线面平行、面面平行”三类关系中，任意两两之间的闭合回路，特别是把问题解决的策略与定理内容的记忆与理解融为一体，达到了“逻辑化、结构化”的复习效果.

如问题1，为学生勾勒出一个平面绕两平行线之一旋转的画面，回答了“什么条件”，即得线面平行的判定定理；概括问题2中“搭平面，得交线”的解决策略，得出线面平行的性质；进一步增设条件，解决问题3，获取面面平行的判定；问题4的解决，又获取了面、面平行的性质和线、线平行的判定.

3.整体规划章节内容的层级要求

为使一轮复习课体现出整体把握，渐次提升，凸显利用“小问题”，说明“大道理”，我们一定要加强整体设计，宏观上规划好相关内容不同的层级要求.

以解析几何为例，在洞悉基本思想（用代数方法解决几何问题）和基本方法（坐标法三部曲）的前提下，把研究的几何问题主要分为如下四类.

第1类：定点问题（中点、定比分点，可以借助利用向量）

通过此类问题的复习，让学生领会坐标法与综合法的区别，感悟坐标法三部曲的优势，充分享受“牛刀宰蚊子” 的，以极大的提高学生的学习兴趣.[5 ]

例1.求证三角形ABC的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

例2.已知点A在单位圆O上， 是该圆异于点 的任意两点，请用坐标法证明：

①若APAQ，则弦PQ是直径；② 若弦PQ是直径，则APAQ.

第2类：动点轨迹问题

此类问题，建议大家把直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线求轨迹问题整合在一起复习，这样有助于把求轨迹理解成是对运动不变量的代数刻画.值得一提的是，直线上点的运动不变量是什么？斜率！以已知两点求斜率公式为基础，变一定点坐标为动点坐标，在斜率不变条件下，即得缺少一点的直线方程，再去分母得点斜式，由此强化点斜式的奠基作用.

第3类：直线与曲线间的位置关系

本类问题是考试重点，我们仍然可以分为如下三个层次，进行整体复习.

（1）研究直线间位置关系（平行、垂直、相交），

（2）研究直线与圆的位置关系（运用几何性质和一般代数方法）

（3）研究直线与一般圆锥曲线的位置关系.

教学中注意不要一步到位，搞得很难，实际上，从定直线与定圆、定椭圆相交，求弦长入手， 或从解决直线“y=x+b，y=kx+1，当b，k为何值时，与定圆、定椭圆相交、相离、相切？弦长为某定长？”入手，都可实现一轮复习的奠基作用.

第4类：运用函数思想解决几何问题

解析几何中的曲线方程，其本质是刻画了曲线上一对动坐标（x，y）之间的相互依存关系，这就为在解析几何背景下，运用函数思想解决问题奠定了坚实基础.教学中，我们要通过典型问题，培养学生选择自主变量，构建函数模型的意识和能力.现举一例.

例3.已知圆的方程为x2+y2=1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA・PB的最小值为（ ）.

A. -4+ B.-3+

C.-4+2 D.-3+2

解法分析：由于圆的对称性，不妨把点P确定在x轴上.于是产生几类自然的思路.

（1）以A为主动点，则可带来直线OA斜率k、或∠AOP（=x）、或点A坐标的变化，分别以k或x为自变量，都可构造函数模型求两向量点积的最小值.限于篇幅，只利用点A的坐标变化，构建函数，略解如下：

设A（x0，y0），根据OAAP，可得P（，0），再据对称性，可得PA=（x0-，y0），PB=（x0-，-y0）于是，PA・PB=2x0--3≥2-3.

（2）以OP长为自变量，设OP=a（a>0），据对称性，即得PA・PB=PA2cosθ=（a2-1）（2cos2）=（a2-1）（1-）≥2-3.

（3）以∠APB=θ为自变量，则有

PA・PB=PA2cosθ=+2sin2-3≥2-3.

4.如何实现解题教学效率最大化

如前所述，解题教学的表面化直接制约着高三复习效率.那么，什么是理想的解题教学？我们首先要解决解题教学“教什么”与“怎样教”的问题.

（1）教通性通法，尽力规避特殊技巧

通性通法反映出知识的主干功能，迁移面广泛，而特殊技巧则不然.所以，不论是从应试角度看，还是进一步学习看，体现学科素养其根本还在通性通法的掌握.

例4（福建2014.理20）.已知函数f（x）=ex+ax （a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1.

（1）求a的值及函数f（x）的极值；

（2）证明：当x>0时，x2

（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2

解法分析：（1）易求a=2. 所以f（x）=ex-2x， 极小值为f（ln2）=2-ln4.

（2）令g（x）=ex-x2，易证g（x）单调递增.即有，当x>0时，g（x）>g（0）>0，即x2

（3）题利用x2>或ex>x3>x2，取得x0=或x0=，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2

题（3）设计巧妙，但入口相对窄一些.特别是放缩法的运用，技巧性强，淡化了导数的运用.而在复习中有效的教学行为应该是如下步骤：

① 不应忽视直观意义的理解，如本题中，不论正数c多么小，x足够大时， cex的图像在x2图像的上方，且c越小，交叉点越远，即x越大.这种能力对解许多题目（特别是选、填题）有益.

②把求证目标等价转化：

x2x2 x>2lnx-lnc x-2lnx+lnc>0

③研究函数g（x）=x-2lnx+lnc的单调性， 得（0，2）单减，在（2，+∞）上单增，最小值g（2）=2-2ln2+lnc.

所以，当最小值g（2）≥0时，即c≥时，取x0=2，则有当x∈（x0，+∞）时，函数g（x）>0恒成立，故原命题成立.

④当极小值g（2）

据函数g（x）在（2，+∞）内单调增加，只需在（2，+∞）内找到x0，使g（x0）非负，即可完成证明.于是，假设x0∈（2，+∞），使g（x0）=x0-2lnx0+lnc≥0，因c的取值越小，x0越大，可设x0=，代入上式，即得-2ln+lnc≥0，其中0

令h'（c）=+==0，因h'（c）

h'（c）>0 c>，即得极小值h（），令（）=3+ln（）=3-3ln3+lnp，得p=，此时，c==，检验得-=，x0=>>>2，满足题意，故当x∈（x0，+∞）时，g（x）=x-2lnx+lnc>0恒成立，即得x2

有趣的是，我们用这样预测、检验的方式得到的x0，比放缩法得到的x0要小（x0==・

（2）把课堂还给学生，力促深度参与

先举一个几乎人人在生活中都会遇到的经历：当朋友带自己去某陌生的地方，自己不承担辨识方向和选择路径的责任，而下次轮到自己单独去此地，则必然遭受不得门径之苦.由此类比我们解题教学，大多教师都有能力让学生被动听明白，但这与学生主动想明白绝对是两回事.从这个意义上说，解题教学，与其说是“教解法”，不如说是“教想法”.那么，不论解决什么问题，能够上升到策略层面的“想法”是什么？笔者的给出的指导意见是：

①通过学生自己阅读理解，挖掘直白的或隐含的信息；

②把信息直观化（图形、图像）、符号化（代数式表达）；

③依据自己的固有经验、思想方法，实现化简、化归.

在此基础上，大多课堂的呈现方式应该是，学生审题、独立思考说“想法”（必要时教师引导）； 其他同学质疑、补充，实施“想法”，落实到纸笔功夫；最后师生提炼思想方法.一个回合过后，讨论变式、一题多解、多变. 如此教学方式在生源优质校没困难，在一般学校，可先在个别班实施，基础不好的学校，不妨从课堂局部做起.这样做的好处在于：

①着力改善解数学题过分依赖题型记忆、复制模仿的状况.

②尽力使学生在崭新的习题情境前，根据已有的数学经验，以研究者的心态，挖掘隐含信息，分析、解决 问题.

学生经过独立思考，形成解题策略的意志力需要在失败中磨砺，需要在成功中固化，更需要稳定的数学思想方法构成心理基础的支撑.

但思想方法的获取，不是依靠教师“贴标签”就能奏效的，思想方法的获取主要靠“悟”.换言之，在学生积极参与的前提下，思想方法往往是好题目“逼”出来的.

例5.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时， f（x）=2x+2x+b（b为常数），求f（-1）的值.

本题不难，但思想方法却值得提炼，如正向思考（综合法）， 从已知奇函数出发，正推，得到x

四、结束语

高三复习是一项系统的工作，不能是简单的“点对点”重复训练，教学实践表明，仅凭“点对点”的对应性训练，一般不会培养出很优秀的学生.正像古人所云：不谋全局者不足谋一域，不谋万世者不足谋一时.本文对高三数学复习的一些宏观思考和建议，正是基于素质教育的立意，试图用提升学生数学素养的方法去提升应试水平，既考虑学生过“高考关”，又考虑学生的后续发展，这对于课程改革的健康、深入发展，都具有深远的意义.

参考文献：

[1]连春兴，不尽相同的理念，风格迥异的设计[J]，数学通报2014年第4期.

[2]曹才翰，章建跃，中学数学教学概论[M]，北师大出版社，2012年7月.

[3]连春兴，数学高考北京卷对教学的启示[J]，数学通报2010年第9期.

[4]连春兴，再论“问题导学”[J]，中小学数学（高中版）2015年第3期.

[5]连春兴，“坐标法”技能训练之我见[J]，数学通报2014年第12期.

[6]连春兴，题型教学可以休矣[J]，中小学数学（高中版），2008年第9期.