探讨外积法在求解平面法向量中的应用

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【摘要】立体几何中的平面法向量的求解方法多样，外积法就是其中的一种.利用外积法求解法向量比内积法更具优越性，此方法的引入，将对高考立体几何中求二面角大小、证明垂直、求空间距离等变得更为轻松，特别是求二面角的平面角方面.本文通过求解有关二面角的例子重点探讨外积法求平面法向量的应用，为一线教师对学生的辅导和考生备考提供一定的参考价值.

【关键词】外积；平面法向量；二面角；应用

一、引言

本文缘于笔者一学生的习作.在批改学生的习作时发现学生采用了外积法在求解平面法向量，新的方法打破了常规解题的思维，为求平面法向量另辟蹊径.纵观近几年的高考数学真题，立体几何以其独具的“姿色”占有12分值，若是方法过于拘泥，该题得分将会大打折扣！应用外积法求解法向量避免内积法的三元一次方程的求解过程中的风险，达到避繁就简的功效.

二、有关定义与定理

为了进一步认识外积法，下面引入两个有关的定义以及一个定理.

定义1如果向量aα（如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作aα），那么向量a叫做平面α的法向量.

图1

定义2两个非零向量a与b的外积指的是一个向量，记为a×b，它的模（长度）是|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向与a，b均垂直，且按a，b，a×b的顺序构成右手系［O；a，b，a×b］（图1）.如果a，b中有一个是零向量，规定a×b＝0.向量的外积也称为向量积或矢量积.

定理设［O；i,j,k］是一个右手直角坐标系，在这个坐标系下向量a，b的坐标分别是(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，那么，向量a×b的坐标是(y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1)，或y1z1

y2z2,z1x1

z2x2，x1y1

x2y2 .

为了便于记忆，我们可以把这个结果形式写成：

a×b=ijk

x1y1z1

x2y2z2 .

证明略.

（注：对外积坐标更好地理解，引入补充知识做准备:二阶行列式ac

bd=ad-bc.）

例1在空间直角坐标系中，已知a=(1,2,3)，b=(-1,0,1)，计算外积a×b.

解a×b=23

01,31

1-1，12

-10=(2,-4,2).

由本例结合定义2（图1）可知，向量a，b所在平面的一个法向量可取为a×b=(2,-4,2).

三、外积法在求解平面法向量中的具体应用

下面笔者给出两道立体几何的题目作为例题，应用外积法来求解平面的法向量.

例2在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.设Q为侧棱PC上一点，PQ=λPC，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°.

图2

解以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图2的空间直角坐标系D-xyz.则B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，P(0,0,1).由于Q为侧棱PC上一点，不妨假设Q点的

根据数量的外积定义，不妨取平面AMN的一个法向量为m=(1,1,-1).

AD平面PAB，

可取AD=(0,2,0)作为平面PAB的一个法向量.

设平面AMN与平面PAB所成的锐二面角为θ，从而就有：

cosθ=m・AD|m|・|AD|=33.

故平面AMN与平面PAB所成的锐二面角的大小为arccos33.

四、结语

外积法在求解中学数学立体几何有关二面角大小方面的问题时，它不是孤立的，解题中并非是“单打独斗”.外积是在求平面法向量时能避开内积引出的三元一次方程的繁杂，做到数学上的简洁美.时下正直新课改，外积相关知识将会在新课标中作为一个模块的知识供高中师生学习，有关学习势在必行.正因如此，笔者在教学中，巧妙地引进此法，大胆尝试，并且收效良好.

值得一提的是，在解决整个立几的问题中，还是需要内积一起出击，方能将整个问题顺理成章地解决.由上述的例题中，不难看出，当外积求出法向量后还需内积（数量积）求角，可谓内积、外积相得益彰.

【参考文献】

［1］人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）［M］.北京：人民教育出版社，2011.

［2］易忠.高等代数与解析几何［M］.北京：清华大学出版社，2007.