平面驴的困惑

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摘 要：本文简介了莫比乌斯带及克莱茵瓶，并指出了科学读物《从一到无穷大――科学中的事实和臆测》及《啊哈！原来如此》中有关莫比乌斯带及克莱茵瓶的讨论中的一个错误。

关键词：莫比乌斯带；克莱茵瓶

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）18-217-01

1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）发现：把一根纸条的一端扭转180°后，和另一端粘接起来做成的纸带，它具有一些奇特的性质（图一）。普通纸带具有两个面一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；沿纸带中线剪开，会变成两个普通纸带。而给莫比乌斯纸带涂色却只用一种颜色，也就是说莫比乌斯带只有一个面；沿莫比乌斯带的中线剪开，只会变成一个纸带，它的宽度是原来的一半，长度是原来的两倍。后来在1882年，著名数学家菲立克斯・克莱茵（Felix Christian Klein，1849～1925）构想出了它的立体模型，以他的名字命名，称为克莱茵瓶（图二）。

后来，无数的数学家、艺术家、科学家和作家把它们引入自己的专业领域中，引出了很多极为有趣的想象和创意。

著名美国科普作家G.盖莫夫（Gamow，George，1904 ～1968）在他的作品《从一到无穷大――科学中的事实和臆测》中，生动的描写了在莫比乌斯带中生活的扁平驴的困惑：“……一头扁平驴沿梅比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1开始（图三），这时看来它是头“左侧面驴”。从图上可清楚地看出，它走啊走，越过位置2，位置3，最后又接近了出发点。但是，不单是你觉得奇怪，连它自己也觉得不对劲，它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然，它能在面内转一下，蹄子又落了地，但这样一来，头的方向又不对了……”，在后文中，他假想天文空间有一个莫比乌斯式扭曲，即假想宇宙的模型是克莱茵瓶的样子，这样环游宇宙的旅行家回来时，心脏会跑到右胸腔。而手套和鞋子的制程商兴许能简化生产过程，把生产左手手套和左边鞋子的一半装入飞船，让它们绕行宇宙一周，这样它们就能套进另一边的手脚！

这是个妙趣横生的想象，但其中有一小错误。

这处错误的产生是G.盖莫夫没有设身处地地为驴子考虑。假想这头驴子以它脚下的边线相当于地平线作为参照物。驴子从位置1出发，走过位置2，到达位置3时，它脚下的地平线已发生了翻转，到位置4时，它所处的地平线已不是它出发时位置了，从这个意义上说，这头驴子并没有回到出发点，只有再走一圈，才回到原来的位置。用平面的法向量来说明（右上图），也可以看出这个问题。以驴子的前方和脚下为正方向，引入两个方向向量，则该平面的法向量指向读者的眼睛，即向纸面外部。当扁平驴到达位置4时，该平面的法向量指向读者的视线方向，即纸面后部，即驴子位于外层空间，而不是出发点。

其后的著名科普作家马丁.伽德纳（Martin Gardner，1914～ 2010）可能发现了这个问题，在他的作品《啊哈！原来如此》中认为“要想理解二维世界的居民在绕完莫比乌斯带一圈后是如何“镜像翻转”的，认识到那个带子的厚度为零很重要……我们必须假定真正的莫比乌斯带是没有厚度的。画在莫比乌斯带上的平面图形就象是墨水在纸上画图形，且墨水应经渗透到纸的另一面那样，因此图形是在带子的两面上而不只是在一个面上滑动的图形。”

对于马丁.伽德纳的理解，也存在着谬误。以克莱茵瓶为模型，假定我们位于镜子的前面，即扁平驴的出发点位置1，当扁平驴位于位置4时，相当于我们乘坐宇宙飞船沿克莱茵瓶达了镜子的后面。显然，位于镜子里面时我们没有回到出发时的空间――镜子的前面，我们此时正从镜子的里面观察镜子的外面。如果认为回到了出发点，那么此时观察空间的我们，是在镜子的外面还是在里面？事实上，马丁.伽德纳认为对于驴子而言，不存在第三个维度，他假想这头驴既在平面里，也在平面外。也就是说在克莱茵瓶内的我们，没有被镜面分割。即使这样，假定位置1是我们的右手，位置4是左手，我们面向纸面外，当我们乘坐宇宙飞船沿克莱茵瓶到达镜子的后面，位置1变成了我们的左手，位置4变成了右手，我们面向纸后，也不能认为我们回到了原来的位置。

后来的许多科普作品，如美国数学科普作家H.W.伊弗斯（Howard Eves，1911～2004）的作品《数学圈2》，西奥妮.帕帕斯（Theoni Pappas）的作品《原来数学这么有趣》和《发现数学，数学还是这么有趣》中，都有相关引用，但没有发现这个错误。

不论是幽默风趣的G.盖莫夫，逻辑严谨的马丁.伽德纳，还是博学多识的H.W.伊弗斯、西妮奥.帕帕斯，这个错误并不会影响我们阅读他们科学普及读物时的乐趣，相反，找到他们的小毛病让我们觉得更接近了这些著名作家，从而对他们所做的工作充满了感激之情。

参考文献：

[1] 《从一到无穷大――科学中的事实和臆测》【美】G.盖莫夫著，暴永宁译.科学出片社.1978年第一版.

[2] 《啊哈！原来如此》【美】马丁.伽德纳著，李建臣、刘正新译，科学出版社.2008年第一版.

[3] 《数学圈2》【美】H.W.伊弗斯著，李泳译，湖南科学技术出版社.2007年第一版.

[4] 《原来数学这么有趣》，《发现数学，数学还是这么有趣》【美】西奥妮.帕帕斯著，李中译.电子工业出版社.2008年第一版.