集合的运算性质及应用

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我们知道集合的运算是指集合的交集，并集和补集，本文给出有关集合的交、并、补的一些性质，并举例应用.

1 性质的给出及证明

证明 集合B除了必含有am+1，am+2，…，an这n-m个元素外，还可以含有a1，a2，…，am这

m个元素中t个（t=0，1，2，…，m），所以集合B相当于在集合{a1，a2，…，am}的每个子集中添加am+1，am+2，…，an这n-m个元素而得到的，因此集合B的个数相当于求{a1，a2，…，am}的子集数，故集合B有2m个.

性质6 M{a1，a2，…，an}，且M∩{a1，a2，…，am}≠（m≤n），则这样的集合M有2n-m个.

证明 因为M∩{a1，a2，…，am}≠，不妨设M∩{a1，a2，…，am}={a1，a2，…，ak}，其中

k≤m，可知集合M中必含有元素a1，a2，…，ak且不含有元素ak+1，ak+2，…，am，另外M中还可以含有am+1，am+2，…，an这n-m个元素中t个（t=0，1，2，…，n-m.），所以集合M相当于在

{am+1，am+2，…，an}的每个子集中添加a1，a2，…，ak这k个元素而得到的，因此集合M的个数相当于求{am+1，am+2，…，an}的子集数，故集合M有2n-m个.

性质7 满足A∪B={a1，a2，…，an}的有序集合对（A，B）有3n组.

证明 记M={a1，a2，…，an}.

（1）当A=时，由A∪B=M，知B=M，这样的（A，B）只有1组.

（3）同理当A只含有M中2个元素时，（A，B）有22C2n组.

……

当A=M时，（A，B）有2nCnn组，由分类计数原理知，（A，B）共有

1+21C1n+22C2n+…+2nCnn=（1+2）n=3n组.

性质8 若A，B{a1，a2，…，an}=U，且满足A∩B={a1，a2，…，ak}（k≤n），则有序集合对（A，B）有3n-k组.

证明 由条件知A，B中都必须含有a1，a2，…，ak这k个元素，记M={ak+1，ak+2，…，an}，M中有t=n-k个元素，下面就A中其它元素（但必在M中）的个数进行讨论.

（1）当A含M中零个元素时，A={a1，a2，…，ak}，A只有1个，即C0t个，

由A∩B={a1，a2....ak}，知B中除了a1，a2，…，ak这k个元素之外，B还可以含M中

若干个元素，B的个数相当于M的子集数，因此B有2t个，由分步计数原理知这样的有序集合对（A，B）有C0t2t组.

（2）当A含有M中1个元素时，A有C1t个，因A∩B={a1，a2，…，ak}，这时B中可含有

M中其它任何元素（除A所含的）若干个，所以B有2t-1个子集，由分步计数原理知有序集合对（A，B）有C1t2t-1组.

（3）同理当A只含有M中2个元素时，有序集合对（A，B）有C2t2t-2组.

当A含有M全部元素时，（A，B）有20Ctt组，

……

由分类计数原理知，有序集合对（A，B）共有

C0t2t+C1t2t-1+C2t2t-2+…+Ctt20=Ctt2t+Ct-1t2t-1+Ct-2t2t-2+…+C0t20=（1+2）t=3t组，即有序集合对（A，B）共有3n-k组.

2 性质的应用

例1 已知B={xx2-x=0}，则满足A∩B=A的集合A有个.

解 因为B={xx2-x=0}={0，1}，由性质1知：A∩B=AAB={0，1}，而B有4个子集，即A有4个.

点评 当题设中有A∩B=A，A∪B=B时，要注意用上述性质1，2把条件等价转化.

例2 已知M={yy=x2+1，x∈R}，N={yy=x+1，x∈R}，那么M∩N=，M∪N=.

解 因为y=x2+1y≥1，所以M={yy≥1}，又因为y=x+1y∈R，所以N=R，MN，由性质1，2知M∩N=M;M∪N=N.

点评 熟练地运用性质1，2可以化简集合的运算，提高解题的速度及准确性.

点评 已知集合A∩B，确定集合对（A，B）时，注意用性质8.

以上可知在集合的交集，并集运算中，熟练运用上述性质解题，简洁明快，作为对课堂学习的补充与提高，请同学们记住并能熟练运用以上8条性质.