曲线光滑定义及光滑性条件用途解析

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【摘要】分析了光滑曲线的两种定义，及定义中非零条件的作用，并利用函数图对非零条件进行了直观展示，讨论了光滑曲线两种定义的关系，从而使光滑曲线的概念更加直观.分别从曲线可求长、曲率的计算及曲线积分的概念和计算三个方面研究了曲线光滑这一条件的作用，有助于大家对光滑曲线这一概念形成更深刻的认识.

【关键词】光滑曲线；可求长曲线；曲率；曲线积分

引 言

光滑曲线一直是数学教学中较难解释的概念，学生在学习过程中尤其难以理解定义中的非零条件，对不满足该条件的曲线缺乏直观感受和认识.在出现曲线光滑条件的章节中也难以理解该条件所起到的作用，无法深入理解曲线光滑的意义.本文通过函数图及曲线光滑与曲线可求长、曲率的计算及第二型曲线积分的概念和计算等方面的联系帮助大家对光滑曲线的概念形成全面而深刻的认识.

1.光滑曲线的定义

定义1：设平面曲线C由参数方程：x=x（t），y=y（t），t∈[α，β]给出，如果x（t），y（t）在[α，β]上连续可微，且x′2（t）+y′2（t）≠0，t∈[α，β]，则称C为一条光滑曲线.

定义2：若函数f（x）在区间（a，b）内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线.

问题1：若曲线C不满足定义1中的非零条件，曲线C可能是非光滑的.下面举例说明.

例1 设摆线（又名旋轮线）C1的参数方程为：x=x（t）=t3，y=y（t）=t2，t∈R.x（t），y（t）在R上连续可微，且x′2（0）+y′2（0）=0，曲线C1在（0，0）点处不光滑，且在该点切线不存在.该曲线在（0，0）点附近图像如图1所示.

图 1

例2 设曲线C2的参数方程为：x=t3cos1t，t≠00，t=0，y=t3sin1t，t≠00，t=0，t∈R.x（t），y（t）在R上连续可微，且x′2（0）+y′2（0）=0，曲线C2在（0，0）点处不光滑.事实上，曲线

C2在（0，0）点附近的切线斜率可以从-∞到+∞，如图2中左图所示，图2中下图为t∈（0，0.1）时的情形.

图 2

问题2：若曲线C不满足定义1中的非零条件，曲线C也可能是光滑的.下面举例说明.

例3 设曲线C3的参数方程为：x=t，y=t3，t∈R或者x=t3，y=t9，t∈R，x（t），y（t）在R上连续可微，虽然x′2（0）+y′2（0）=0，不满足定义中的非零条件，但曲线C3在（0，0）点处光滑，且存在切线.该曲线的方程即为大家熟悉的函数y=x3，在（0，0）点附近图像如图3所示.

图 3

问题3：曲线连续是曲线光滑的必要不充分条件，如例1.

问题4：定义2中f′（x）在[-R，R]上连续是曲线光滑的充分不必要条件.下面举例说明不必要性.

例4 曲线y=f（x）=R2-x2，x∈[-R，R]的参数方程可以表示为x=Rcost，y=Rsint，t∈[0，π]，由参数方程可推知曲线满足光滑定义，但y=f′（x）=-xR2-x2在点-R及点R处不连续.

问题5：设x=x（t），y=y（t），t∈[α，β]与y=f（x），x∈[-R，R]表示同一条曲线，则定义1与定义2无法互推.即满足定义1条件，可能不满足定义2条件，如例3；满足定义2条件，可能不满足定义1条件，如例4.

2.光滑与可求长

在叙述曲线可求长条件或者推导弧长公式时，很多教材都会假定“曲线光滑（或分段光滑）”这个条件，以致学生产生只有光滑曲线才能将弧长计算化为定积分的误解.事实上，由文献[1]，曲线求长不需要光滑，且只需用x′（t）、y′（t）在区间[α，β]上黎曼可积（而不是连续），就能够得到弧长计算公式s=∫ β αx′2（t）+y′2（t）dt.

曲线光滑是可用上述公式计算弧长的充分非必要条件，但若不满足光滑条件，则可能是不可求长的，如例2.

3.光滑与曲率

曲率定义如下：设光滑曲线的参数方程为x=x（t），y=y（t），t∈[α，β]，且x（t）与y（t）二阶可导，则有曲率公式：

K=x′（t）y″（t）-x″（t）y′（t）[x′2（t）+y′2（t）]32.（1）

高等数学中曲率公式的给出建立在曲线光滑的条件上，在不满足光滑条件的点处，曲线的曲率可能不存在，如例1中曲线在（0，0）点处不满足光滑定义中的非零条件，曲率不存在.

但基于上文中不满足光滑定义中非零条件的曲线也有可能是光滑的，故曲率公式在使用时也会产生局限性.对于不满足x′2（t）+y′2（t）≠0条件的点是否能说明该点曲率不存在呢？答案是否定的，如以下例5.

例5 光滑曲线C参数方程为x=t2，y=t2，t∈R，在点（0，0）处有x′2（t）+y′2（t）=0，因而无法用上述求曲率的公式进行计算，但该曲线直角坐标方程为y=x，其在任一点处的曲率均为零.事实上可用下文中公式（2）进行计算.

设曲线的方程是y=f（x），且f（x）具有二阶导数就（这时f′（x）连续，从而曲线是光滑的）.则有曲率公式

K=y″（1+y′2）32（2）

对于不满足y″存在性的点，该点处仍可能有曲率，如例4，曲线y=f（x）=R2-x2，x∈[-R，R]，y′=-xR2-x2在点-R及点R处y′∞不存在，故y″也不存在，但该曲线在点-R及点R处是光滑的，从而一定有曲率，事实上由其参数方程x=Rcost，y=Rsint，t∈[0，π]，利用公式（2）计算可得，这两点处的曲率均为1.

对曲线方程为x=g（y）的情况不再讨论，与公式（2）类似.

4.光滑与曲线积分的概念和计算

第一型曲线积分定义中要求曲线是可度量的，即可求长，因此需要光滑性条件.第二型曲线积分定义中要求曲线处处存在切向量，因此需要光滑性条件.因为不满足光滑性条件的点处曲线可能不存在切线.例如对于摆线（例1）在t=0，±2π，±4π，…时，就没有切线.

【参考文献】

翁莉娟，韩云瑞.数光滑曲线与可求长曲线[J].数学的实践与认识，2006，36（5）：308-309.