代换的作用

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摘 要： 代换可分为等量代换与不等量代换两种.在某些数学概念形成中代换起到关键性的作用，在研究确定数学对象时，通过代换化复杂为简单，在研究确定的数学对象中，代换在两种不同的数量中起联系作用，在数量互逆运算关系时，代换起到还原作用.

关键词： 等量代换 不等量代换 代换思想

我国古代曹冲称象的故事就是一个典型的体现代换思想的实例.在数学上运用代换的例子更普遍.例如：

解方程组：sinx+cosx-2 sinxcosx=0

解：设t=sinx+cosx，则原方程划归为代数方程：

t-2 ・ =0，即 t -t- =0.

解得：t = ，t =- .

原方程便划归为两个简单的三角方程：

sinx+cosx= 与sinx+cosx=- .

分别用恒等变形进一步解出：

sinx+cosx= ？圳x=2kπ+ ，（k∈Z）

sinx+cosx=- ？圳x=（2k+1）π+ ± ，（k∈Z）

因此原方程的解集为

{x|x=2kπ+ ，k∈Z}∪{x|x=（2k+1）π+ ± ，k∈Z}.

这里，设t=sinx+cosx，通常称作变量代换.代换后三角方程就转换成了代数方程.一般来说，在我们研究确定的对象时，把含甲量的数量关系式换成一个乙量，或者一个乙量换成一个含甲量的关系式，这种一个量的关系式与一个量的相互转换，叫做量与量之间的代换，简称代换.

如果一个量的关系式与一个量之间有相等或不相等关系，那么，我们可以把代换分成等量代换与不等量代换两种.如例1中的变量替换：t=sinx+cosx就是一种等量代换.而不等量代换则侧重于一种思想方法.数学中常常遇到的说法“甲代入乙”或“甲代替乙”一般指的是等量代换，而“把甲看做乙”或“甲换成乙”这种不等量代换体现代换思想.例如，在乘法公式中，计算（3a+4b） 时，就需要用到立方和公式（a+b） ，把3a看做立方和公式中的a，把4b看做立方和公式中的b，这就是一种不等量代换.

代换有什么作用呢？想必我们都记得一个典故叫曹冲称象，曹冲称象的原理就是利用了等量代换.他把不能直接称量的大象转换为与大象等重量的石头，从而解决了问题.数学中的代换概括地说起到转化作用，具体地说体现在以下几个方面.

一、在某些数学概念形成中代换起到关键性的作用

代换让新的知识点在已掌握知识上变得更加易于理解与掌握，同时更好地将新旧知识联系起来，对新的概念形成及理解起到关键性的作用.如：代数式的值的概念、方程（组）的解的一般形式、研究函数性质时、增减函数的概念、奇偶函数的概念、周期函数的概念、研究函数的导数概念等.在这些概念中，代换是掌握这些概念的关键所在.

二、在研究确定数学对象时，通过代换化复杂为简单

通过代换把一种数量关系式转化成另一种数量关系式，一般地把复杂的转化为简单的，把未知的转化为已知的.例如：

1.在因式分解中通过代换把要分解的多项式转化为易于分解的形式或易于利用公式的形式.

2.在解方程（组）中，通过代换可以“降次”或“消元”，把分式方程转化为整式方程，把高阶方程转换为低阶方程，把无理方程转化为有理方程等.

3.在函数中，通过代换把复合函数转化为基本函数.

4.在三角中，通过代换把要证的恒等式转化为已知的三角恒等式.

5.在几何中，通过代换把一个等式转化为另一个等式.利用坐标变换化简，极坐标与直线坐标方程的互化，普通方程和参数方程的互化.

例如，已知x +y =R ，求15x -4xy+3y 的最值，只要做代换x=Rcosay=Rsina，问题就迎刃而解.

三、在研究确定的数学对象中，代换在两种不同的数量中起联系作用

例如：立体几何中，圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的联系如下：

圆柱的侧面积公式S =2πrl（r-底面半径，l-侧母线长）；

圆锥侧面积公式S =πrl（r-底面半径，l-侧母线长）；

圆台侧面积公式S =π（r+r′）l（r-底面半径，r′-上地面半径，l-侧母线长）.

可以看出，当r′=r时，便是圆柱的侧面积公式；当r′=0时，便是圆锥的侧面积公式.这样圆锥和圆柱的侧面积公式可以看做是圆台的侧面积公式的特别情况，这里代换起到联系作用.

四、在数量互逆运算关系时，代换起到还原作用

例如：在数的平方与开平方运算中，若把x =a（a≥0，x∈R）写成|x| =a①，则|x|= ②.于是②代入①或①代入②分别得到还原式（ ） =a或 =|x|.在指数函数与对数函数运算中，如：a =N？圳b=log N（a>0，a≠1，N>0）.通过代换有：a =N或b=log a .在三角运算与反三角函数运算中，如y=arcsinx，x=siny，x∈[-1，1]，y∈[- ， ].通过代换有还原式：sin（arcsinx）=x，或arcsin（siny）=y.

参考文献：

[1]林森.浅谈几种常见的代换方法[J].数学教学研究，1998（01）.

[2]王云禄，陆权一.中学数学中几种常见的代换法[J].高中数学教与学高中数，2004（03）.