跨过恒成立问题的“层峦叠嶂”

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摘 要：含参的不等式恒成立问题一直以来都是高考、模考的热点和难点. 这类问题涉及函数、方程、不等式等知识，综合性强，思维容量大，运算要求高，因此学生得分率往往不高，零分情况也时常出现. 针对这个情况，本文罗列出几点考生常见的错误解法并做出剖析，供大家参考.

关键词：恒成立；不等式；典型错误

不等式恒成立问题是高中数学的重要内容，也是高考、模考中的热点、难点问题.由于新教材增加了导数新内容，使恒成立问题更有了施展的舞台，学生对这类题型出现各种各样的错误，错误率居高不下. 本文直击恒成立问题的典型错误，将典型题展示给读者，希望可以提高学生对该问题的理性认识，提高思维品质.

不彻底的参数分离

分离变量是恒成立问题中的一种常见解法，它的步骤是将变量和参数分离到不等式两边，然后根据变量的范围来控制参数的范围. 和分类讨论比较起来，分离参数具有思路清晰、有章可循、易操作等特点. 但是分离过程中，要避免分离不彻底的情况. 这也是学生容易忽视的一个问题.

题1 已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ-x（1-x）+（1-x）2sinθ>0恒成立，求θ的取值范围.

错解：原不等式即为・sin（θ+φ）>x（1-x）在x∈[0，1]时恒成立，其中tanφ=.

也即sin（θ+φ）>=在x∈[0，1]时恒成立.由基本不等式≤，当且仅当x=时取得等号，此时φ=，所以只要sinθ+>就能保证原题不等式恒成立，解得2kπ

剖析：分离参数，只有将参数完全独立出来，左、右两边具有独立性，才能通过参数以外的变量所构成的解析式的性质来确定所求参数的取值范围. 以上解法貌似正确，但sin（θ+φ）>中φ本身就是与x有关，表明左、右两边有一定关联性，所以没有从本质上对变量x与参数θ进行分离.也就是变量分离不彻底.

正解：（1）当x=0时，原不等式等价于sinθ>0；当x=1时，原不等式即cosθ>0，所以θ是第一象限角，解得2kπ

？摇 （2）当x∈（0，1）时，原不等式等价于cosθ+sinθ>1即等价于cosθ+sinθ>1.令f（x）=・cosθ+sinθ，因为sinθ>0，cosθ>0，1-x∈（0，1），所以f（x）≥2=，等号成立当且仅当cosθ=sinθ，即x=∈（0，1）. 于是f（x）min=，即sin2θ>，结合θ是第一象限角，解得+2kπ

评注：本题变量和参数关系非常密切，很难分离干净，所以利用函数最值回避了分离难的尴尬局面. 当变量分离难度很大，不妨避其锋芒，将问题转化为函数的最值问题，往往能打开思维的大门.

含有逻辑联结词的不等式恒成立问题

题2 已知不等式a-2x>x-2对x∈[0，2]恒成立，求a的取值范围.

错解：a-2x>x-2对x∈[0，2]恒成立？圳a>3x-2或a3x-2对x∈[0，2]恒成立或a

剖析：错解显然受到x≥a？圳x≥a或x≤-a的误导，因为这是一个恒成立问题，“a>3x-2或a3x-2对x∈[0，2]恒成立或a3x-2或a3x-2在x∈[0，1]恒成立，让a3x-2对x∈[0，2]恒成立，或a

正解：由题意，对x∈[0，2]，a>3x-2或a

评注：对于含有逻辑联结词的不等式恒成立问题，有时反其道而行之，从否定命题的视角来考虑，往往能探求到解题捷径，使问题迎刃而解.

x1，x2∈D，f（x）≥g（x）恒成立问题

题3 已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8，若对任意的x1，x2∈[0，+∞）时，都有f（x1）≥g（x2），求实数a的取值范围.

错解：问题可转化为对任意的x1，x2∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围. 设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，即F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，此等价于[0，+∞）上F（x）min≥0. 因为F ′（x）=3x2+2（2-a）x，若2-a≥0即a≤2时显然F（x）min=4>0. 若2-a0，此时显然当x>或x

剖析：错误原因是误把“x1，x2∈D，f（x）≥g（x）恒成立（不同函数在不同变量）”当成“x∈D，f（x）≥g（x）恒成立（不同函数在同一变量）”，其实两者本质不同. 前者表示x1，x2∈D的取值具有任意性，其恒成立的充要条件是f（x）的最小者大于等于g（x）的最大值. 而后者的意思是两个函数都取相同的变量时，都有f（x）≥g（x），这类问题通常从F（x）=f（x）-g（x）≥0入手.

正解：由题设，f（x）min≥g（x）max，显然f（x）min=f（0）=-4，而g′（x）=2ax+1，显然a

评注：在探求函数最大值、最小值时，导数往往作为一种有力的工具，充当着重要的角色，而导数与其他知识的交汇，常作为考试题的难题、“压轴题”、高分点题出现，也是高考的热点之一，久热不衰.

x∈D，f（x）≥g（x）恒成立问题

题4 函数f（x）=2log2，g（x）=log2（-1

错解：易知k>0，由f（x）≥g（x）得≥，注意到x∈，，所以≥在，上恒成立，于是，min≥max.

易知在，上增函数且在x=处取得最小值，min=，在，上增函数且在x=处取得最大值，max=3. 所以有≥3，故k的取值范围是0

剖析：由于取得最小值的条件是x=，取得最大值的条件是x=，两个值不等导致≥3不能成立.显然，与上例不同，此例是“x∈D，f（x）≥g（x）恒成立”的类型，若要利用f（x）min≥g（x）max来解决，必须使f（x）min的x的值与g（x）max的x的值一致才行，一般为了避免这样的错误，常采用分离变量的方法，显得干脆利落.

正解：要使得≥在，上恒成立，即k2≤1-x2在，上恒成立. 显然，1-x2在，单调递减，故（1-x2）min=1-=，从而k2≤，又k>0，故k的取值范围是0

评注：本题考查的仍是数学思想中极为重要的化归意识，通过分离变量，将求参数范围的问题转化为求函数最值问题，对这种常规解题思路必须熟练掌握.