依据数学模型分析股票收益理性投资

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股市有风险，入市需谨慎。股市投资要求投资者慎重决策，对于股票交易，用较为严谨的数学模型进行决策，也许能降低投资的风险，达到投资收益的最大化。股票投资的收益决定于买卖的价格，什么时候买入卖出，需要投资者进行分析。一般来说，买入卖出股票要对该股的基本面、政策面、成交量、运行趋势、大盘指数等进行考虑，从而选择有限个股票买入。那么如何来选择股票和买入与卖出的时机呢？就要根据相关的数据和预测，依据相应的数学模型来分析。这里根据每股的利润，买入量与卖出量、市盈率等进行分析，建入数学模型，从而决策买入卖出的时机。

流通量固定的股票，买盘多于卖盘，股票会上涨.反之卖盘多于买盘则会下跌。买方的增多会推高股票的价格，反之亦然。可以简单地认为，价格和买方的量成正比例关系，其函数可表述为

P=kmP为股价，m为买盘，k为常数。

成交量的大小还体现在换手率的大小，换手率是股票交易总额与公司流通市值的比值，换手率越高，也是成交量越高，该只股票的交易越活跃，从中也反映出流动性越高，那么作为短线投资的话，成交量增长快一般是买入的时期。

市盈率是一个通行于股票市场的概念，其本质意义在于测算投资的回收期，所以也称之为本益比。其计算公式如下：

市盈率=股票价格/每股净利润即为S=PE每股净利润就是用税后利润总额除以总股本的结果。这里可以看出，市盈率与股票价格成正比，与每股净利润成反比。

制定发行价格时，市盈率水平一般有某种规定或行业习惯。也可以根据交易市场的平均市盈率而定，但一般应略低于平均水平。

每股利润一定的条件下，市场价格越高，卖方的卖出意愿越强，而买方的买入意愿则会越弱。由此，股票市场的意愿买入卖出量取决于股票的市场价格与体现其内在价值大小的每股利润之间的比率，即取决于每股股票所包含的单位内在价值的市场价格的高低，也就是市盈率的大小。因此，市盈率可以作为投资者判断股票的市场价格的合理性、比较不同股票投资价值大小及决定供求的重要依据和简便易行的指标。市盈率越高，意味着买方购买股份公司单位内在价值所须付出的价格越高，也意味着卖方出售股份公司单位内在价值可以获得的价格越高，因此股票市场的意愿买入量与市盈率负相关，是市盈率的减函数；意愿卖出量与市盈率正相关，是市盈率的增函数。

那么，由于市盈率是股价与每股利润之比，所以在任一给定的每股利润水平下，意愿卖出量随着股价及相应的市盈率的上升而增加，是股价的增函数；而意愿买入量却随着股价及相应的市盈率的上升而减少，是股价的减函数。所以，对于任一给定的每股利润水平，都可以在股票价格P为纵坐标和买卖数量Q为横坐标的坐标平面上绘出意愿卖出曲线和意愿买入曲线。例如，假定当前的每股净利润为E′，则可以在图1中绘制出该利润水平下意愿卖出曲线，以及意愿买入曲线。这两条曲线的交点A就是当前股票市场的均衡点，它所对应的价格P′，市盈率P′/E′和成交量Q′*就是能使当前股票市场的均衡价格、市盈率和成交量（见图1）。

然而，图1中买卖曲线的交点A所对应的均衡只是一种相对的、暂时的均衡，随着股票市场买卖关系的改变，原有的暂时均衡将被打破，并逐渐趋向于新的均衡。新的均衡则取决于投资者对公司未来内在价值的每股利润的变化及由此引起的股价变化的预期。如果市场上大多数投资者普遍预计，公司下一期的每股利润将会在本期的基础上有较大幅度的增长（或减少），从而它的股价也将在每股利润增长（减少）的带动下上涨（下跌），投资者将会从市场上买入（卖出），而那些持相反观点的少数投资者则会卖出（买入）。这样，市场的需求将会增加（减少），而供给则会减少（增加），表现在图2上就是原来的均衡点A逐渐向新的均衡点B移动。

投资者对公司下一期每股利润E及其在本期每股利润E′的基础上增长率X=E-E′E′的预期，以及对该公司股票下一期价格P及其在本期价格P′基础上变动率Y=P-P′P′的预期，既是他们进行投资决策的主要依据，也是引起股票市场供求关系发生变动，导致市场从一个均衡点向另一个均衡点运动的主要原因，因而投资者对E、P的预期，特别是对X、Y的预期，对投资者的投资决策和股票市场的运动具有重要的意义和作用。

首先，对E和X来说，由于公司下一期的每股利润E及其增长率X是投资者获取红利收益的源泉，并且股票每股利润作为股票内在价值的具体体现，它的高低及变动还通过市盈率指标决定着股票的市场价格P的高低及变动Y，因此投资者在进行投资决策时，首先需要对E和X做出预期。由于E和X受许多偶然因素的影响，存在着一定程度的不确定性，所以E和X都是随机变量。这样，投资者对E和X两个随机变量的预期，就是要估计公司各种可能的（也可参考过去的）每股利润Ei（i=1，2，…）及相应的每股利润增长率xi=（Ei-E′）/E′（i=1，2，…），以及它们各自出现的可能性大小即发生的概率pi（i=1，2，…），也就是要估计E和X的概率分布。在预期的基础上，为了从总体上把握该公司下一期每股利润E及其增长率X的可能取值的平均水平及不确定性大小，分别计算这两个随机变量的数学期望和方差。

数学期望E（X）是该投资者预期的该公司下一期每股利润的平均增长水平。在公司将全部利润都用做红利进行分派的情况下，它就是该投资者所预期的红利收益增长率的期望值。方差σ2X是对该投资者所估计的该公司未来每股利润增长率可能取值的波动性或不确定性大小的一种度量，而这种不确定性对投资者来说就是投资风险。

其次，对P和Y来说，由于公司股票下一期价格P的高低及其在本期基础上变动率Y的大小，是投资者获取股票投资差价收益率的重要来源，而决定股价高低、引起股价变动的原因，除了每股利润E及其增长率X通过市盈率指标发挥作用以外，还受其他众多偶然因素的影响，因此投资者在进行投资决策时，需要在已经对该公司下一期的每股收益E及其增长率X的概率分布做出预期的前提下，借助市盈率指标，对P和Y两个随机变量的条件概率分布作出估计。就是要针对所预期的该公司下一期每一个可能的每股收益Ei及相应的每股利润增长率xi（i=1，2，…），借助于市盈率指标，对该公司股票下一期的价格P及相应的价格变动率Y的各个可能取值Pj和yj=（P-Pj）/Pj（j=1，2，…），以及它们各自出现的概率大小pij（i，=1，2，…）做出估计。在估计每股利润Ek的条件下股票价格的条件概率分布的过程中，虽然在E=Ek的条件下，股价会有众多的可能取值Pj（j=1，2，…），但由于它们与给定的每股利润Ek相对比而表现出来的市盈率P/Ej（j=1，2，…）存在着较大差异，而市盈率的高低则决定着市场的意愿买卖，从而决定着股价的这些可能取值的合理性和可能性大小，所以在股价各个可能的取值中，投资者自然会认为，与市场普遍认可的合理市盈率最为接近的某一市盈率Sk相对应的股价Pk，其出现的概率pk最大；而随着股价Pj的逐渐增高，市盈率Sj越也来越高于Sk，买方的购买意愿便会越来越低，股价取这些值的合理性就越来越小，出现的概率也会随之逐渐降低；同理，在随着股价逐渐降低，形成的市盈率越来越低于Sk，卖方的卖出意愿便会越来越低，股价取这些值的合理性也就越来越小，出现的概率也会随之逐渐降低。

由于投资者投资股票的目的是从股价变动中获得差价收益，而引起股价变动的主要原因是作为股票内在价值具体体现的每股利润的变动，所以为了获得预期差价收益，投资者需要事先对所预期的该公司下一期各种不同的每股利润增长率条件下股票价格变动的各种不同的走势和波动特征有所了解，特别是需要事先对所预期的该公司下一期平均每股利润增长率条件下股票价格变动的总体走势和波动特征有所把握。因此，投资者要解决的核心问题就是，当公司未来每股收益增长率X为xi（i=1，2，…）时，股票价格变动率Y的平均水平是多少？不确定性有多大？特别是，当公司未来每股收益增长率X为其所有可能取值的平均值E（X）时，股票价格变动率Y的总体平均水平是多少？不确定性有多大？而这两个问题恰巧就是条件数学期望和条件方差所要解决的问题。所以，在离散的情形下，通过条件数学期望和条件方差来解决投资者所关心的上述问题。在公司未来每股收益增长率为X=xi（i=1，2，…）的前提下，股价变动率Y的条件数学期望E（Y|X=xi）和条件方差σ2Y|xi分别为在公司未来每股利润增长率为X=E（X）的前提条件下，股票价格变动率Y的条件数学期望E[Y|X=E（X）]和条件方差σ2Y|X=E(X)分别为

其中，E[Y|X=E（X）]是该投资者预期的该公司未来股价变动的总体平均水平。它表明，平均来看，如果该投资者预期该公司未来每股收益的平均增长率为E（X），那么它的股价的平均上涨率将达到E[Y|X=E（X）]=E[E（Y|X=xi）]。从投资收益角度看，这一上涨率就是投资者预期从股价变动中获得的差价收益率。然而，由于股价的变动不仅受公司每股收益变动的不确定性的影响，还受其他众多偶然因素变动的不确定性的影响，所以投资者投资股票的差价收益面临着较大的不确定性，而这种不确定性则是投资者面临的投资风险之一。σ2Y|X=E(X)就是衡量这种不确定性和投资风险大小的指标。

作为投资者当把自己分析和预测的相关数据代入式子并计算出相应的股票价格变动率Y的条件数学期望E[Y|X=E(X)]和条件方差σ2Y|X=E(X)，当期望值为正数、方差为较小数时往往可买入，期望值为负数、方差为较大的数时则要卖出股票。