浅谈高中教材中的周期函数

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成语“周而复始”是指每增加一定的量（或时间）之后所出现的结果相同。数学中的周期性函数用这一成语来诠释，既通俗易懂，又耐人寻味。为什么人们能够根据今天星期几，从而推算出几年、几十年后，甚至几百年后的今天是星期几，这就是同余问题，与每周七天的周期性相关。

在学习周期函数和周期性的过程中，因为没有铺垫，学生对概念的理解有些困难。因此，教师只有深入挖掘概念的本质内涵，讲细讲透，才能帮助学生更好地理解和掌握，从而为以后学习抽象函数的周期性打下坚实的基础。

教材中对周期性的定义为：对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期。函数的这一性质称为周期性。

根据定义，我们可以得到以下结论：

结论1：周期T必须是非零常数。

这是因为如果T=0，那么对任意函数f（x）来说，均满足f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，所有的函数都满足，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了。

结论2：（1）若T≠0为y=f（x）的一个周期，则周期T的任意正整数倍即nT（n∈N*）也是y=f（x）的周期。证明如下：

f（x+T）=f（x），且x∈D，x+T∈D，因此f（x+T+T）=f（x+T）=f（x），

因此，2T为f（x）的周期，依此类推：3T，4T，……均为y=f（x）的周期。

所以，nT（n∈N*）是y=f（x）的周期。

（2）若T≠0为y=f（x），x∈R的一个周期，则周期T的任意非零整数倍，即nT（n∈Z，且n≠0）也是y=f（x），x∈R的周期。证明如下：

f（x-T）=f（x-T+T）=f（x），且x∈D，x-T∈D

因此，-T为y=f（x）的周期，则-nT（n∈N*）是y=f（x），x∈R的周期

所以，nT（n∈Z，且n≠0）是y=f（x），x∈R的周期。

如y=sinx的一个周期为2π，则4π，6π，8π，……或-2π，-4π，-6π，……都是y=sinx的周期。

结论3：周期函数的定义域应是无界的。且周期T>0，则周期函数必无上界，周期T

这是因为：若T>0，假设y=f（x）的定义域为D为上界的数集，由确界存在公理可知，D必有上确界a。？坌ε>0，？埚x1∈D，使a-εa，即（x1+T）？埸D，这和题设相矛盾，故T>0时，定义域为D必无上界。

同理，周期T

如：y=sinx，当x∈R，或x∈[0，+∞），或x∈[-∞，0）都可成为周期函数，而若当x∈[0，10π]时，取9π∈[0，10π]，而9π+2π∈[0，10π]，则无法满足任取x∈[0，10π]，使f（x+T）=f（x）恒成立。

y=f（x）的一个周期为2A。

（作者单位 吉林省松原市长岭县第三中学）