解析巧添与圆有关的常规辅助线

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解与圆有关的几何问题时，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解.为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类例析如下.

一、圆中有弦，常作弦心距，或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径

评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系.

二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角，在半圆中，同样可作直径所对的圆周角

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例2 如图2，O是ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是

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解题思路：连结AD.由同弧的圆周角相等得∠D=∠B=40°，因CD是直径，则，∠CAD=90°，由三角形内角和得∠ACD=50°.

答案：50°

评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决.

三、圆中有切线，常作过切点的半径，若无切点，则过圆心作切线的垂线

评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系.当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径或半径构造直角三角形来帮助求解.

四、两圆相切，常作公切线，或者作两圆的连心线

例4 如图4，O1和O2外切于点A，BC是O1和O2的外公切线，B、C为切点，求证：ABAC.

证明：过点A作O1与O2的公切线AM交BC于点M.

因为MA和MB分别切O1于点A、B，所以MA=MB，同理可得MA=MC，所以MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，所以ABAC.

评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）等性质来沟通两圆间的联系.

五、两圆相交，常作公共弦，或者作两圆的连心线

例5 如图5，O1和O2相交于A、B两点，AD是O1的直径，且圆心O1在O2上，连结DB并延长交O2于点C，求证：CO1AD.

证明：连结AB.

评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以连通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦.

添加辅助线要领悟下列思想方法：（1）遇到直径时，一般要引直径上的圆周角，将直径这一条件转化为直角的条件. （2）

遇到有切线时，一般要引过切点的半径，以便利用切线的性质定理；或连结过切点的弦，以便利用弦切角定理. （3）遇到过圆外一点作圆的两条切线时，常常引这点到圆心的连线，以便利用切线长定理及其推论. （4）遇两圆相交，要添加公共弦，或者连心线，特别是公共弦，它在相交两圆中起着桥梁作用.（5）遇两圆相切，一般要引两圆的公切线，如果两圆外切，常引内公切线； 如果两圆内切，就引外公切线， 公切线的引出构造了弦切角，利用弦切角便可把两圆的圆周角联系起来. （6）求周长和面积要注意利用割补思想. ⑺圆柱和圆锥的侧面展开图是研究“化曲为直”的一条重要的思想方法.