应用均值不等式常规方法巧解竞赛题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇应用均值不等式常规方法巧解竞赛题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要： 均值不等式试题是历年竞赛题的热点内容，利用均值不等式解题的关键是创设应用均值不等式的条件，配合一定的转化、变形、构造技巧，这样可使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果。依赖常规方法，转变解题思维，竞赛题也会迎刃而解。

关键词： 均值不等式 常规方法 巧解 竞赛题

江苏省一级刊物《高中数学教与学》2005年第九期《美妙的构造技巧――对偶法》一文，让人耳目一新，感叹其构造之精妙，思维之独到。文中涉及问题多是竞赛题，作者通过构造对偶式的方法，使问题轻而易举得以解决，给人启迪。历年全国乃至世界级竞赛题中涉及均值不等式的试题较多，考生上手比较困难，正确率低。为帮助考生解决竞赛中的实际困难，提高竞赛得分率，下面我用均值不等式常规方法巧解竞赛题中均值不等式试题。

定理（均值不等式）：若a＞0，b＞0，则有≥。

推论1：若a＞0，b＞0，且a+b=L（其中L为常数），则有ab≤（当且仅当a=b时，取得最大值）。

推论2：若a＞0，b＞0，且ab=L（其中L为常数），则有a+b≥2（当且仅当a=b时，取得最小值2）。

由此可见，利用均值不等式解决问题时一定要注意其成立的条件，即“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可。

均值不等式及其推论是中学数学的重要内容，有着十分广泛的应用，它的证明比较容易，这里不再累述。

但值得注意的是学生对其理解和把握总感到困难，究其原因有三：第一，学生对均值不等式理解、掌握不到位，不能正确使用均值不等式；第二，由于许多能利用均值不等式解决的问题往往比较抽象，学生想不到，没有利用均值不等式解决问题的意识；第三，往往能利用均值不等式解决的问题，特别是竞赛题，通常需要转化、变形，甚至构造，而这些对学生基础要求很高，需要丰富的想象能力，这使得大多数学生望而却步。

然而，一旦构造成功，即使是基础一般的学生，也可以看懂利用均值不等式解决的问题。所以，利用均值不等式解题又总是让人着迷。

例1：（第26届独联体奥林匹克试题）

求证：对任意实数a＞1，b＞1都有不等式+≥8。

分析：原式左边在a＞1，b＞1这一条件下，有a-1＞0，b-1＞0，所以可看成是两正数之和，而右边是常数，从而想到使用均值不等式。

证明：a＞1，b＞1

a-1＞0，b-1＞0

+（b-1）≥a①

+（a-1）≥b②

①+②得+≥8

当且仅当=b-1=a-1，即a=b=2时，取等号.

例2：（第24届全苏竞赛题）

已知a，a，…a∈R，且a+a+…a=1，

求证：++…+≥。

分析：由于a，a，…a∈R，且a+a+…a=1，而所要求证的不等式右边是常数，由已知不难发现=，从而对左边施行均值不等式。

证明：+≥a①

+≥a ②

……

+≥a n

①+②+…+n得++…+≥成立，

当且仅当a=a=…=a时，不等式取等号.

例3：（亚太地区竞赛题）

已知a，a，…a∈R，b，b，…b∈R（i=1，2，…，n），且a=b，

求证：≥a

分析：由于a，a，…，a∈R，b，b，…，b∈R，不等式左边每一项都可以看成正数，从而联想到使用均值不等式。

证明：a，b∈R

+（a+b）≥a

从而有≥（a+b）≥a

又a=b

从而≥a.

点评：本题的证明联想到均值不等式，注意到左边每一项都有分母，从而考虑利用均值不等式去分母，使问题得证。

例4：（第36届IMO竞赛题）

设a，b，c∈R，且abc=1，

求证：++≥

证明：a，b，c∈R，且abc=1

==

同理：=，=

又+（+）≥①

+（+）≥ ②

+（+）≥ ③

①+②+③得

++≥（++）=（bc+ac+ab）≥=

从而原不等式成立（当且仅当a=b=c=1时不等式取等号）.

点评：本题在此仅提供利用均值不等式的解法。

例5：已知x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1（n∈N，2≤n）

求证：+++…+≥。

分析：由于已知x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1

所以（1-x），（1-x），…，（1-x）均为正数，可以考虑利用均值不等式，去分母来证明。

证明：x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1

x∈（0，1） （i=1、2、…、n）

+≥①

+≥ ②

……

+≥ n

①+②+…+n得

+++…++≥

从而：+++…+≥成立.

（当且仅当x=x=…=x=时取等号）

例6：若α、β、γ为锐角，且cosα+cosβ+cosγ=1

求证：cotα+cotβ+cotγ≥

分析：这是一个关于三角函数的问题，如果采用三角函数去化简，变形，问题将难以解决，但如果注意到α、β、γ为锐角，不难得出：

sinα+sinβ+sinγ=2，故构造平均值不等式加以证明。

证明：cosα+cosβ+cosγ=1

sinα+sinβ+sinγ=2

又设M=cotα+cotβ+cotγ=（++）-3

又：+sinα≥3①

+sinβ≥3 ②

+sinγ≥3③

①+②+③得++≥

从而M=cotα+cotβ+cotγ=++≥.

（当且仅当cosα=cosβ=cosγ=时取等号）

点评：本题得以证明的关键在于巧妙地构造+sinα≥3①

+sinβ≥3 ②

+sinγ≥3 ③

运用均值不等式，使问题得以解决。

例7：（1990年日本CMO代表第一轮选拔题）

设x、y、z∈R且x+y+z=1

求：++的最小值。

分析：本题解法很多，但均值不等式的使用，使问题轻松解决

解：x、y、z∈R且x+y+z=1

++=（++）（x+y+z）

=14+（+）+（+）+（+）

≥14+4+6+12=36

当且当y=2x且z=3x时，即x=，y=，z=时，++取得最小值36.

例8：（1998年加拿大数学奥林匹克竞赛题）

解方程：x=+。

分析：本题可采用对偶法解决，这里我给出一种简单常规解法。

解：设A=，B=，

则A+B=x①

A-B=x-1 ②

A-B=1-③

由①+③得2A=（X-）+1

从而2=（x-）+1，即（-1）=0

=1

解得：x=，x=（舍去）.

以上问题的解决依赖于常规方法，可见，在我们平常的教学中，以通性、通法为主，追求一种朴实的作风，让学生感到不偏不怪，让学生感到亲切，感到数学就在身边，这对培养学生学习的积极性是非常重要的。在新课程背景下，我们加强对通性、通法的研究，这无论是对指导教师教学，还是对培养学生能力，均具有重要意义。

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文