浅谈“用函数观点看一元二次方程”

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇浅谈“用函数观点看一元二次方程”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要：人教版九年级：“用函数观点看一元二次方程”，是代数与几何知识有机结合的亮点；是初、高中数学知识的衔接点，是初中数学的重要内容，是学业水平考试的重点考察内容之一。用函数观点看一元二次方程要把握以下两点：一是用函数思想看方程；二是用方程思想看函数。

关键词：二次函数；一元二次方程；数学思想方法

二元一次方程是初中阶段最重要的一个代数知识，对二次函数与一元二次的教学，许多教师都感到难以把握，综合其原因主要有如下两点：一是本节教学内容牵扯到了的知识点较多，有相当数量的学生对旧的知识点掌握本身就不是特别牢固，教师对教学的深浅度不太容易把握；二是本节运用了各种教学方法，有函数、方法、类比、分类讨论、数形结合思想等，这都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集中展现，是初中代数内容的一个总结。

“用函数观点看一元二次方程”，是代数与几何知识有机结合的一个亮点，是初中、高中知识的一个衔接点，是初中数学的重要内容，是初中学业水平考试重点考察的内容之一，因此，全面掌握二次函数的基础知识和基本技能，并能分析和解决有关二次函数的综合问题，合理利用他们之间代数关系是学生必备知识。

一、二次函数与一元二次方程的联系

方程和函数有着不可分割的联系，用函数观点看一元二次方程要把握好以下两点：1、用函数的思想看方程；即函数值y=0（即图像上的点在x轴上），函数即转化为一元二次方程方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。2、用方程的思想看函数；即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，这两点间的距离AB=|x1-x2|，另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）-A|（A为其中一点的横坐标；当b2-4ac=0，图像与轴只有一个交点；当b2-4ac0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a

二、还需要掌握用待定系数法求二次函数的解析式

（一）当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）。

（二）当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）2+k。

（三）当题给条件为已知图像与轴的两个交点坐标时，可设解析式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）

二次函数知识很容易与其他知识综合应用，形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是初中学业水平考试的热点考题，往往以压轴题的形式出现。

三、二次函数与一元二次方程的综合解题

初中代数中的二次函数与一元二次方程的关系十分密切。我们在教学学习时，以熟练地蒋这两部份知识相互转化。二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0从形式上看十分相似，但两者之间既有联系又有区别。当抛物线的y的值为0时，就得到一元二次方程。抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。

例1、求抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点。

【分析】令y=0，根据y=x2+6x+9的根来确定抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：令y=0，则x2+6x+9=0的解方程得：x1=3，x2=-3

抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点坐标为：（3，0）（-3，0）

例2、已知二次函数

（1）y=x2+2x+k-1若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。

（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值。

【分析】此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解，当抛物线与轴有两个不同的交点，可利用b2-4ac>0来确定k的取值范围。当抛物线的顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，可利用b2-4ac=0来确定k的取值。解： x2+2x+k-1=0

（1）=22-4（k-1）=4-4 k+4=8-4 k>0

当k

（2）=8-4 k=0 当k=2时，抛物线的顶点在x轴上。

例3、已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+2=0的根的情况（ ）

A、无实数根 B、 有两个相等的实数根C、 有两个异号实数根 D、有两个同号不等实数根

【解析】因为ax2+bx+c+2=0

所以 ax2+bx+c=-2，设y1=ax2+bx+c， y2=-2，因为 y1=ax2+bx+c，的图像如图2，-30 且 x1≠x2

所以方程ax2+bx+2=0有两个同号不等的实数根。选D。

评析：本题解题的关键是通过把方程ax2+bx+2=0与抛物线y1=ax2+bx+c比较后，把已知方程转化为两个函数值相等的形式，再利用这两个函数图像的交点的横坐标就是这个方程的解的关系，来判别方程两实数根的情况。

总之，教学和学习这节内容，要充分运用以下两种思想方法：一是函数与方程的思想，用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图像和性质等更高层次的提练和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出带有观念的指导方法；二是数形结合思想，在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化、几何问题可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。在学生理解二次函与一元二次方程的联系的基础上，能够运用二次函数及其图像、性质去解决现实生活中一些问题。进一步培养学生综合解题的能力，在整个这个章节学习过程中始终渗透数形结合的思想，更体现了学数学的重要意义。是教学难点，相信通过教师采取积极的教学策略，定会取得满意的教学效果。

参考文献：

[1]数学教师用书九年级（人民教育出版社）.

[2]数学课程标准（人民教育出版社）.

[3]云南教育2012年中考面对面（陕西科学技术出版社）.

[4]考王――中考部复习（数学）（云南人民出版社）.