创意平板折叠桌设计的数学模型

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[摘 要]针对客户对创意平板折叠桌高度、形状的不同要求，并且在保证折叠桌稳固性好、加工方便和用材最省的条件下，运用最小二乘的非线性规划的数学模型，确定创意折叠桌的加工参数。

[关键词]创意平板折叠桌 优化设计 最小二乘的非线性规划 lingo软件 MATLAB

中图分类号：TP391.7 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）34-0139-02

引言：建立一个关于x轴和y轴（在桌面上建立坐标轴）对称的桌面边缘曲线和由两个空间曲面相交而成一般的桌脚边缘线的基于最小二乘的非线性规划的优化数学模型。

1 理论分析

假如客户对折叠桌的要求是圆形，则根据圆的性质运用空间几何坐标即可求解参数；非圆形的折叠桌更一般化。对于非圆形的桌子，就存在木条究竟是顺着桌面长的方向还是顺着宽的方向是一个选择题，我们下面按照木条顺着桌面宽的方向来建模和设计折叠桌。

设所设计的折叠桌高为，桌面直径（即桌面最长）为，设。设桌面曲线为一封闭连续光滑曲线，并能以某一条直径为y轴，在桌面底部该直径中点处为原点建立的xy平面上，假设在这个坐标系上桌面边缘曲线可表示为两条单值曲线和，并设，。以垂直向下的射线为轴，使组成右手螺旋的空间直角坐标系，刻度单位为1cm。这样就得以建立空间直角坐标系。这里还是只考虑长方形面板材料，设其长为（待确定的变量），宽为，厚度为，必须满足。由于我们的折叠桌是木条顺着宽的方向设计，从用材最省和加工方便看，取是最合适的。设，，则长方形面板材料的长应满足。

设制作折叠桌的长方形木条的宽度为，且满足成立或近似成立，其中为正整数，表示y轴上方和下方的木条数，也是y轴上方和下方的桌腿数。

设y轴上方根木条桌脚线的数学方程是由两个已知曲面和和相交而成的；y轴下方根木条桌脚线的数学方程是由两个已知曲面和和相交而成的。

设第条腿的长度为。因钢筋仍然固定在每组桌腿最外侧的两条上，只是位置待确定，设钢筋固定在第1根（最外侧）桌腿离腿脚的距离为（待确定的变量），固定在第根（最外侧）桌腿离腿脚的距离为（待确定的变量），固定在第根（最外侧）桌腿离腿脚的距离为（待确定的变量），固定在第根（最外侧）桌腿离腿脚的距离为（待确定的变量），这也是每条腿上开出的空槽的上端位置。设第条腿的空槽长度为（待确定的变量，实际上可由和表示）。显然，，，且。设第1根（最外侧）桌腿与桌面的夹角为，第根（最外侧）桌腿与桌面的夹角为，第根（最外侧）桌腿与桌面的夹角为，第根（最外侧）桌腿与桌面的夹角为， ，，再假定桌面是水平的，桌面高为，所以满足。

从产品设计的要求来看，还是如问题2要考虑加工方便或加工容易就要求总的空槽长度尽量小，但是空槽太短，可能就会使得桌角倾斜较大，即太小，稳固性差。而稳固性好，就是要使折叠桌稳定牢靠，一方面要使折叠桌在安装好的最后位置的钢筋刚好在每个空槽的下端位置，而没有再向下滑动的空间，另一方面也是使折叠桌的承重腿，即使四条最外侧桌腿尽可能纵向垂直，即尽量靠近，或尽量大而接近于1，即尽量小，，其中由长方形平板的长度和桌脚线等确定。越靠近，可能就要求空槽较长，就使得、和都要大。最后材料省就是尽量小.因此最后的模型就是在一定的约束下最小化的加权和。设它们的非负权系数分别为。但是由于桌面高度、桌面边缘线和桌脚边缘线的任意性，可能会出现没有满足所有约束条件的可行解，所以最后可能只能求近似解，如目标规划或者最小二乘法求解。

2 数学建模过程

为了简化计算，下面还是对一个关于y轴对称的桌面边缘线来建模，即，由于对称性，我们下面也只计算前条桌腿的一组。此外，即使桌面不是关于x轴对称，为计算方便，也假定钢筋固定在同一组两条最外侧桌腿离桌脚的距离相同，即。如果桌面关于x轴不对称，折叠过程和折叠后的钢筋都是斜的，计算复杂，时间来不及，所以这里还是假定桌面曲线关于x轴也对称，因此，而且，。

首先计算前条桌腿的长度，还是与问题1类似，假定宽度为的长方形木条其中点位置刚好由铰链连接在桌面边沿对应点的位置上，于是：，

其次，计算每条桌腿与桌面连接处的坐标

显然，。而当时，。

第三，计算在折叠桌铺平成平板时，钢筋穿过每条桌腿的位置到该桌腿铰链处的距离。也就是折叠桌的第条腿空槽的上端位置。

第四，计算折叠桌的第条腿空槽的下端位置，即折叠桌成型后的钢筋位置。

解直角三角形和相似三角形可求得钢筋固定在和处的z坐标，。因都在连接和的线段上，因此对所有的，。

由假设连接铰链的桌腿只能沿着铰链旋转，不发生侧移，因此的x坐标保持不变，与的x坐标相同，即。解直角三角形和相似三角形可得知。由对称性很容易知钢筋的另一端点也有，因此钢筋所在的直线平行于x轴及xz平面，则。

于是和问题1类似，桌脚的参数方程为：

由于有很多个点，而桌脚线实际上是两个曲面方程组成的方程组，只有两个未知数和，因此每个点代入桌脚边缘线方程就能求出一组和，因此最合适的方法是用最小二乘法的非线性规划模型求出最优和，这也就能达到尽可能接近客户所期望的形状的目的。因此在给定适当的正权系数下，数学模型为：

3 计算实例：

桌面取椭圆，桌面曲线方程为，。桌脚边缘线取方程：，.，即；。桌面高取为，于是，因此长方形平板材料的宽就是，厚度为，则，仍然取，因此

对应的椭圆轨道的求解加工参数，最优权重为200

则最优加工参数下得到的各桌腿链条槽对应的长度如表所示

4 结束语

对于此模型适当做参数修改，可以使模型对于最优方案的参数设计更为精确；模型也可用于对其他家具、机械制造的最优策略设计与选择，提高产品质量，赢得市场占有率。

5 参考文献

[1] 张欣琦.论家具动态设计之折叠结构类型，2014.9.13。

[2] 孙洪.可展开折叠网壳结构极限承载力的可靠性研究，2014.9.12。

[3] 银小刚.基于层次分析法和隶属度的可靠性评定简述.

[4] 姜启源.《 数学模型》.高等教育出版社，1987

此文章根据2014年全国大学生数模竞赛B题国家一等奖论文改编