高考数学恒成立问题的一般解法

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“含参数不等式的恒成立问题”是以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的综合性问题.解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.它往往涉及一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.

１．一次函数型

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0)，若y=f(x)在［m，n］内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

a＞0,f(m)＞0或

a＜0,f(n)＞0.亦可合并定成

f(m)＞0,f(n)＞0.

同理，若在［m，n］内恒有f(x)

例1 对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围.

分析：在不等式中出现了两个字母：x及p，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.

解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0.

设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1，则f(p)在［-2，2］上恒大于0.

故有

f(-2)＞0,f(2)＞0,即

x2-4x+3＞0,x2-1＞0.

解得

x＞3或x＜1x＞1或x＜-1.

x3.

２．二次函数型

若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有a＞0,＜0.

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.

例2 设f(x)=x2-2ax+2，当x∈［-1，+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.

分析：题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边的二次函数在区间［-1，+∞)内恒大于0的问题.

解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.

（１）当=4（a-1)(a+2)

（２）当=4（a-1)(a+2)≥0时，由图１可得以下充要条件：

≥0,f(-1)≥0,--2a2≤-1，

即(a-1)(a+2)≥0,a+3≥0,a≤-1,

得-3≤a≤-2.

综合可得a的取值范围为［-3，1］.

３．变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.

４．直接根据图象判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.

例3 当x∈(1，2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别看成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数，故可以通过图象求解.

解：设y1=(x-1)2，y2=logax，则y1的图象为图２所示的抛物线，要使对一切x∈(1，2)，y11，并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.