应用“变异理论”,夯实数学课堂

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“变异理论”强调，要认识某个事物，就要注意这个事物与其他事物在某个属性上的不同之处。将这一理念引入小学数学课堂教学，具体表现为：提供具体多样的例证，区分教学内容的关键属性，以使学生识别关键属性，最终真正掌握教学内容。本文旨在结合“分数的基本性质”和“图形中的规律”等内容的教学，谈谈“技能教学”和“问题解决教学”中的变异策略。

一、“技能教学”中的变异策略

“分数的基本性质”是小学数学五年级上册“分数”单元的内容。分数的基本性质是约分和通分的基础，而约分、通分又是分数四则运算的基础，因此，应对教学内容和学生经验进行分析。

1.教学内容分析

（1）“分数的基本性质”的关键要素

“分数的基本性质”，即“分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（0除外），分数大小不变”。其中，关键要素是“都”“乘以或除以”及“相同的数（0除外）”。

（2）关键要素变异维度的分析

分子和分母都乘以或除以相同的数的变化（扩大或缩小相同倍数的变化）。

2.学情调查分析

调研发现，大多数学生对“分数的基本性质”这一内容并不陌生，但在理解和应用方面存在问题，因此，我认为教学这一内容时有两点需要注意：一是把分数的性质作为教学重点，二是探寻整数、小数和分数之间的内在联系。

3.教学环节设计

针对“分数的基本性质”这一内容，我设计了四个教学环节。其一，课前交流。我设计了对口令游戏，即教师随意说一个数（例如，2、0.4、5/10），学生也要说一个与这个数相等的数，以唤起学生对“分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（0除外），分数大小不变”的思考。其二，情景引入与探索。我创设了这样的教学情景：某班组织“同看一本书”的阅读活动。小王读了一本书的3/4，小方读了这本书的6/8，小张读了这本书的9/12。他们三个人谁读的页数最多？（这本书共有120页）。通过比较三个分数的大小，学生开始自主探究“分数的基本性质”这一内容。同时，我鼓励学生把探索、分析的过程表达出来。经过归纳、总结可知，探索、分析“分数的基本性质”具体涉及四个方法：一是利用数量相等的关系计算页数，二是通过分数与除法之间的联系计算页数，三是利用“商不变规律”计算页数，四是利用分数的直观图形（见图1）计算页数。其三，归纳概括。一是引导学生从分数的概念理解“分数的基本性质”，最终让学生达成这样的认识：把一个整体平均分的份数乘以（或除以）几，所取的份数也乘以（或除以）几，所取的份数占整体的多少不变，也就是分数的大小不变。二是提供若干组例证（分数值相等），引导学生分析、识别它们的共性，最终归纳出“分数的基本性质”。三是采用典型反例，在差异对比中，使学生对某些容易忽视的要素有更清晰、深刻的认识。其四，总结拓展。我引导学生回顾课前做的游戏。当整数相等时，例如2=2，数字没有变化。当小数相等时，例如2.0=2.00，0.4=0.40，0.5=0.50，数字有了变化。在小数的末尾添上（或去掉）“0”，小数的大小不变。当分数相等时，例如2/5=4/10，分子、分母不同的两个分数，分数值相等。回顾课前游戏旨在引导学生体会整数、小数和分数之间的区别与联系。

二、“问题解决教学”中的变异策略

“图形中的规律”是北师大版小学数学四年级下册“认识方程”单元的后续学习内容。它是字母表示数的运用，不仅使学生体会代数的思想和意义，更使学生初步领略“问题解决教学”中的变异策略。“图形中的规律”这一内容的教学重点是经历探索图形规律的过程，并将这个探索过程上升到策略的层面；它的教学难点是同一图形具有不同的分割方式，并转化为抽象的一般关系算式。

1.教学内容的分析

“图形中的规律”这一内容探究的具体问题是：“用小棒做某种正多边形的边，若要摆出n个这种正多边形相接为一排的图形，且每两个相邻正多边形有一条边重合，需要多少根小棒？”也就是探讨小棒根数与按这种方式排列的正多边形个数n之间的关系。

该问题情景和解决方法主要包括三个变异维度。其一，图形边数的变式。例如，正三角形、正四边形（正方形）、正五边形和正六边形等。一般选择从简单图形正三角形或正四边形开始探索。其二，图形分割方式的变式。对于具有同样排列方式的图形，图形分割的方式可以有多种，不同的分割方式体现不同的规律（关系算式）。例如，正三角形的排列主要有三种分割方式：一是把图形看成是n个三角形组合在一起，其中有（n-1）条边因重合而减去，所以小棒数=3n-（n-1）；二是将第一个三角形的三条边分割出来，后面其余的三角形都看成是由两根小棒构成，所以小棒数=3+2（n-1）；三是将第一个三角形最左边的那条边分割出来，其他的都看成是加上两根小棒形成的三角形，那么小棒数=1+2n。其三，探索的路径不同。主要有两个：一是从一个三角形入手，随着三角形个数的逐渐增多，寻找具有一般性的规律；二是从观察由多个三角形构成的整体图形入手，使学生在观察和分析整体图形的过程中发现小棒数与正三角形个数的关系。这一探索路径有助于学生对图形进行多样的分割与组合，从而发现不同的关系算式，使学生体会同一问题的不同解决方法。

2.教学过程

针对“图形中的规律”这一内容，如何在课堂教学中分析与研究呢？具体有四步。其一，在课堂教学中，我尝试从观察多个三角形排列构成的整体图形入手，使学生在观察和分析整体图形中发现小棒数与正三角形个数的关系。这样，学生不仅能体会同一问题的不同解决方法，更可通过操作和观察找出其中的规律。其二，呈现不同的算式和相应图形的分割方式，以使学生从图形表征过渡到字母表征。其三，引导学生说出算式中各数的含义，以加强学生对算式的理解，为随后发现规律、替换变量做好准备。其四，总结、归纳图形的规律。让学生明晰同一规律适用于不同的图形，以使学生理解：在相似图形中既有普遍规律，又有特殊规律；特殊规律适用于特殊问题的解决。

（作者单位：北京市海淀区亮甲店小学）