关注学生的“二次思维”
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【摘要】初始思维是一种“原生态”思维，它是以学生自我认知为根本出发点，是对问题进行初次思维尝试。由于受思维片面性、感性、孤立性的影响，思考往往呈现出非线性的特点，常常不能触及问题本质。而数学学习是以知识为载体，以发展学生思维能力为核心。对于这种“浅层次”的思维，我们必须以学生的“初始思维”为基础，促进“二次思维”的有效开展，实现思维认知的突破，提升学生思维品质。
【关键词】初始思维二次思维基础深入化个性化
数学的学习是以知识为载体，以发展学生思维能力为核心。由于学生的思维是感性的、片面的、孤立的，往往呈现出非线性的特点，面对问题初始思考常常不能触及问题的本质。所谓的“二次思维”就是在此时教师引导学生开展再次思考，在这个过程中唤醒、激发、深化学生的思维认知，提升学生的思维品质。然而有效开启学生的“二次思维”，其中思维的衔接、深入、发展问题就必须引起我们足够的重视与思考。
一、 以学生的“初始思维”为基础
初始思维是学生以自我认知为出发点，对问题进行初次的思维尝试。在此过程中难免会出现认识偏差、思考不足乃至于错误，这都是学生最真实、最朴素的思维展现，是重要的教学资源。初始思维更多的是一种“原生态”思维，通过它教师能为学生思维现状准确号脉。
“二次思维”是学生“初次思维”的延续，是对不完善思维的再次思考。孔子曰：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”二次思维的开展并不是一种思维强加于另一种思维，而是一种智慧启迪另一种智慧的过程。它以学生的思考角度为根本出发点。以学生的初始思维为基础，教师则以一个同行者的角色去引导，促使学生两次思维的衔接处实现认知的突破。
【案例1】0.37÷0.3
师：谁来说一说你的解题过程？
生：我利用商不变法则转化成3.7÷3，答案等于1.2余0.1。
生：我们也是先运用商不变法则将它转化为除数是整数的除法，答案也是1.2余0.1。
[初始思维]
师：我们有什么办法检验答案是否正确呢？
生：我们可以看余数是否大于除数，本题余数是0.1小于除数0.3所以计算的结果是正确的。
生：也可也通过乘法进行验算，用商乘除数再加上余数看结果等不等于被除数。
师：请同学们用自己的方法检验答案是否正确。（学生独立完成检验）
生：我们通过验算发现计算的结果为0.46与被除数不相等，所以答案存在问题。
师：从余数的角度进行验算是正确的，而从计算的角度为什么会得出相反的结论。
生：看余数只能初步的判断，计算才是准确的判断。
师：那问题出现在哪里呢？（学生独立思考尝试找出问题的所在）
生：在验算时我发现1.2×0.3=0.36，如果余数是0.01就能得到0.37这个结果。
[二次思维]
师：一个大胆的想法，余数可能存在问题。
生：我刚才再次看了竖式中余数的位置，“1”对应的位置是3.7的十分位，也是没转化前0.37百分位，如果按后一种看法余数就是0.01。
生：我觉得他的看法有道理，商是1.2余数是0.1是3.7÷3的计算结果，对于原来算式0.37÷0.3来说“1”应该是百分位上的，所以余数是0.01。
师：你们同意他们的看法吗？
生：同意，但最好再举一个例子说明。
师：想法很好，请你们完成0.25÷0.2。
生：通过计算我认为他们的说法是正确的。
生：在利用商不变解决除数计算时，商是不变的余数是变的，余数是多少要看与对于原被除数所对应的数位。
纵观上面的教学过程，学生解决0.37÷0.3时以没有余数的小数除法为思维起点，在成功地运用“商不变法则”实现知识的转化的同时，却未考虑由此对余数所产生的影响。对于上述思考不充分、不全面，站在学生角度是完全可以被理解的。为此教师以让学生对计算结果进行验算的方式，扣起了学生的“初始思维”之门。学生在对问题的探索中步步紧逼问题的所在，在对所列竖式的自我反思中更是提出了大胆设想：“我在验算时我发现1.2×0.3=0.36，如果余数是0.01就能得到0.37这个结果。”对于这样的思维认知虽然其中不乏感性的成分，但却一下子让学生的思维关注点聚焦在余数上面。要成功有效引导学生进行“二次思维”我们要做到：及时捕捉学生初始思维中的“闪光点”，以学生原有的思维认知为基础，以激发学生积极主动的思维为动力，通过学生的内在机能的激发不断完善认识。
数学的学习是不断发展思维，促使学生思维品质提升的过程。因此只有将学生的思维引向深入，学习才能触及问题的本质。思维随着深度的不断拓展其广度才会随之延伸，才能在完整的知识体系中进行知识的建构。由于二次思维是建立在学生初次思维的基础之上，经过一定的思维反思与调整、修正与完善并逐步趋于合理，学生此时所具有的思维能力完全可以将思考引入深入化。
【案例2】比较下面分数的大小，看看你有什么发现？
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[初始思维]
师：谁来说一说每组分数的大小。
生：（略）。
师：在此基础上你有什么发现吗？
生：在第一组我发现分母都比分母大2，结合刚才通分的比较的大小，我进一步发现：“分母比分子大2，这个分数分母越大它就越大。”
师：你们同意他的发现吗？
生：同意，我对第二组的发现也差不多只是分母比分子大了3。
师：你能说具体点吗？
生：我的发现是：“分母比分子大3，这个分数分母越大它同样越大。”
师：为什么两题的结论会如此的相同呢？
生：分母都比分子大相同的数。
[二次思维]
师：这样发现能给你进一步的启发吗？
生：我觉得只要分母比分子大的数是相同的，分母越大分数就越大。
师：你们认可他的发现吗？
生：认可。
师：要证明结论的正确我们还需要进一步？
生：举例说明。
（学生举例说明略）
…………
[思维的深入化]
师：本题是分母比分子大相同的数，你觉得还会出现哪种类似的特殊情况？
生：我想是分子比分母大同样的数这类特殊的假分数情况？
师：下面请同学们4人以小组，合作完看看有什么发现并加以证明。
生：分子比分母大1的两个分数如32与43、65与54，分母越大分数越小。
生：分子比分母大2的两个分数如53与64、75与53，同样分母越大分数越小。
生：分子比分母大3的两个分数如52与74、107与85，分母越大分数越小。
…………
生：我们通过举例的方法证明了：分子比分母大同样数的假分数，分母越大分数越小。
上述的教学片段，向我们展示了两种不同层次上的思维。初始思维中学生思维基础是具体的实际问题，立足于问题的解决。二次思维所依附的载体已不再是具体的知识，而更多是聚焦思维层面上的思考。案例中的二次思维是一个不断深入、突破的过程：学生在对规律的反思中获得思维的启迪，在类比中不断提出大胆的猜想，在猜想的验证过程中不断丰盈自己的认知。
三、 追求“二次思维”的个性化
人与人之间的思维存在明显的个体差异，这种差异主要表现在思维的独立性和批判性、思维的广阔性和深刻性、思维逻辑性与独创性等方面。二次思维是学生思维发展的关键时期，也是思维逐步趋于成熟的阶段，此时学生对问题思考呈现出个性化的思考方式，个性化的思维亦在逐渐萌芽。对于学生出现的这种思维倾向我们应精心呵护积极引导，努力实现学生个性化思维的发展。
【案例3】1+2+3+4+…+100=
[初始思维]
师：同学们你们能计算出从1一直加到100的和是多少吗？
生：老师算是可以算出来的，但是计算量太大了。
生：最好是分小组每个组各算一部分，然后把各组的答案加起来，这样既可以算出答案也比较节约时间。
生：老师我听高年级同学说过好像是5050。
师：答案是正确的，你会快速计算吗？
生：不会。
[二次思维]
师：你们知道吗？有一个人在他8岁的时候就能快速的算出答案5050。
生：（发出惊讶的声音）老师你快说他是怎样做的。
师：好，老师就把他思考过程写出来，你们试着弄懂它？
（板书：1+100=101、2+99=101、3+98=101、…50+51=101、101×50=5050）
生：（学生通过独立思考、相互交流的方式理解解题过程。）
生：我知道了，他把第一个与倒数第一个第二个与倒数第二个相加，这样不断相加一共有50个101。
生：他太聪明了。
师：他抓住1-100相加的什么特点？
生：每次首尾相加都等于101。
师：你们知道这个比你们还小一岁的小朋友是谁吗？
生：想。
师：他就是高斯，长大后他成为人类历史上伟大的数学家。
[思维的个性化]
生：我也想到了一种快算计算的方法。
师：（惊讶）你说说看。
生：我把100个数分成了10组：1-9、10-19、20-29、…90-99，100先不考虑。每组个位数字相加都是1+2+3…+9=45，一共10个45就是450。在加十位的时候我发现了规律他们分别是100、200、300、…900，加起来就是4500。最后的算式就是4500+450+100=5050。
师：又一个“小高斯”诞生了，你们都懂吗？
生：老师我在他的基础上又想到了更快的方法。
师：（更加惊讶）把你的想法与我们分享下。
生：个位上的数字相加是450，那么十位上的数字加起来也是450，因为是十位上的要乘10就变成了4500，最后再算上100结果也是5050。
…………
上述案例是一节三年级趣味数学课的教学片断。笔者以经典为例以回顾解题为引，通过学生思维的深入参与，准确理解高斯个性化的解题思想。片断最后学生为我们呈现出一次次精彩的、出乎意料的解答，无不向我们展示着他们个性化的思维。此种思维能力的获得并不是唾手可得的灵感乍现，是基于二次思维上的个性化发展。反思学生个性化思维的形成，它根植于对经典解题的理解，源于思维的深入化，顿悟于个性化启迪、个性化思维。整个二次思维是学生理解、消化、深入、反思的过程；是学生自我个性化思维酝酿的过程；亦是学生思维品质不断提高的过程。个性化思维表面是一种思维个性的彰显，实则是学生不断深入思考的结果。纵观本案例如果没有学生在二次思维中的深入思考，个性化思维只能是无源之水，无本之木。
【参考文献】
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[2] 凌铎林.浅谈小学数学思维能力的培养[J].小学教学参考，2006（8）.
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[4] 王秀娇.如何培养学生的数学思维能力[J].新课程（小学），2012（1）.