离心泵叶片型线线性拟合的实用研究
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摘要：为使低比转速离心泵叶片型线方程更适合用于工程上的研究，通过对六种低比转速离心泵叶轮叶片型线进行测绘得出了它们的叶片型线方程，并利用线性拟合的方法对其进行了简化。简化后的型线方程误差较小，直观反映了测绘点曲率半径和转角的关系。这种简化后的方程对于叶轮叶片型线形状的优化具有一定意义。
关键词：离心泵;叶片型线方程;线性拟合
1.前言
离心泵是目前石油化工生产装置中应用最多的泵类设备，约占泵类设备总量的90%左右，其中又以低比转速离心泵应用最为广泛。低比转速离心泵一般是指比转数n =30～80r/min的离心泵，它与中、高比转速离心泵相比，具有高扬程、低流量的外特性特征。因此，大量应用于石油、化工、航天等领域[1，2]。
叶轮是离心泵的核心部件，叶片形状是决定泵性能的关键因素之一。因此离心泵叶轮叶片型线直接影响水泵的性能。泵的性能好坏在很大程度上取决于叶轮设计是否合理，而叶片型线的确定是叶轮设计中的一个重要部分。工程上，通常因为低比转速离心泵设计时的叶片型线方程具体形式不易获得，不利于其叶片型线的研究，因此影响了离心泵性能的改进。基于上述原因，本文力求通过线性拟合方法得到简化的叶片型线方程，以利于低比转速离心泵性能的改进。
2.叶轮叶片型线基本理论
低比转速离心泵圆柱形叶片型线是一条由进口安放角逐渐变化成出口安放角的曲线[3]。如图1所示用极坐标来描述这种变化比较方便，因为：
（1）
将上式微分，并引入曲线的切线
（2）
（3）
又，解出和：
图1 叶片型线示意图
可得 （4）
如图1，作矢线的垂线，ψ+β=π/2
故 （5）
为泵叶片的安放角，所以是叶片型线安放角的正切函数[4]。解微分方程（5），能推导出型线的数学表达式。
我们由式（5）可以看出，该种方法求解型线方程较为复杂。
3.离心泵叶轮型线线性拟合方法
3.1 叶片型线测绘
本次研究选取了六种低比转速离心泵叶轮的水力模型作为研究对象。该六种低比转数离心泵叶轮均采用圆柱形叶片，以一种离心泵叶轮为例，其叶轮水力模型图如图2所示。
图2 低比转数离心泵叶轮水力模型
根据所给的叶轮水力模型图，进行测绘，可得该离心泵叶轮叶片轴向截面上数据点坐标如表1所示。
表1 叶片型线测绘点坐标
测绘点
1
2
3
4
5
X/mm
41.029
43.2
44.797
45.411
44.739
Y/mm
-7.163
7.968
16.601
25.909
测绘点
6
7
8
9
10
X/mm
43.16
39.766
34.437
26.282
15.023
Y/mm
36.307
47.502
59.792
72.429
85.642
测绘点
11
12
13
14
15
X/mm
-19.18
-42.89
-70.82
-87.07
Y/mm
97.5
108.32
117.62
122.51
124.22
根据所测得的坐标点，通过描点作图，可得叶片型线图如图3所示。
图3 叶片型线
3.2 叶片型线的线性拟合 3.2.1 直角坐标转换为极坐标
由图3所示的叶片型线，根据测绘所得的直角坐标值，对其进行转换，转换成极坐标值，如表2所示。
表2 叶片型线测绘点极坐标
测绘点
1
2
3
4
5
ρ/mm
41.7
43.2
45.5
48.4
51.7
φ/°
0.0
9.9
20.0
30.0
40.0
测绘点
6
7
8
9
10
ρ/mm
56.4
62.0
69.0
77.1
87.0
φ/°
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
测绘点
11
12
13
14
15
ρ/mm
97.5
110.0
125.2
141.5
151.7
φ/°
99.9
109.9
119.9
129.9
134.9 3.2.2 求出叶片型线方程
对叶片型线作适当的变量替换，对两个新的变量作线性回归，然后再还原到原来的变量，即可得到叶片型线的简化方程[5]。
对ρ、φ进行适当转化。假设存在如下线性关系：
（6）
对转换后的变量进行一元线性回归，求出系数A、B及相关系数r。相关系数r反映了变量之间线性关系的密切程度，它是用下式定义的。对于x与y之间的相关系数，定义式为
（7）
其中。显然。当时，称为完全线性相关;当时，称全无线性相关;当越接近1，线性相关越大
利用Excel的数学函数INTERCEPT和SLOPE可求得A=1.5648，B=0.0043。故方程为
（8）
上式可转化为，即，将回归后的值与原来测绘的ρ值进行比较（如表3所示，表中回归计算后得到的ρ值用ρ’表示）。
表3 ρ值与ρ’值
数据点
1
2
3
4
5
ρ/mm
41.7
43.2
45.5
48.4
51.7
ρ’/mm
36.7
40.5
44.8
49.5
54.6
数据点
6
7
8
9
10
ρ/mm
56.4
62
69
77.1
87
ρ’/mm
60.3
66.6
74
81.3
89.7
数据点
11
12
13
14
15
ρ/mm
97.5
110
125.2
141.5
151.7
ρ’/mm
99.1
110
120.9
133.5
140.3
将ρ与ρ’值作图进行比较如图4所示。
图4 ρ值与ρ’值
由r>rmin以及图4可得，型线转化为线性回归所得方程以及求得的型线方程满足要求。但该方程形式较为复杂，不够简单。下面对方程进行简化：
令A=lga，B=blge，则，b=B/lge。
所以上式（6）化为
（9）
上式可化为
（10）
则，。型线方程为
（11）
由上述分析可知，选取的六种水力模型的型线简化方程如表4所示。
表4 六种水力模型叶片型线回归方程
序号
叶片型线
回归方程
回归系数（截距）
回归系数（斜率）
转化线性相关系数
最小相关
系数
数据个数
ρ=aebφ
a
b
r
rmin
n
1
ρ=36.71 e0.0099 φ
36.7138
0.0099
0.9904
0.6410
15
2
ρ=20.60 e0.0134 φ
20.6032
0.0134
0.9988
0.7980
9
3
ρ=18.37 e0.0116 φ
18.3709
0.0116
0.9951
0.6840
13
4
ρ=29.38 e0.0099 φ
29.3773
0.0099
0.9899
0.6410
15
5
ρ=86.89 e-0.0087φ
86.8882
0.0087
0.9913
0.6410
15
6
短叶片：ρ=44.29e0.008 φ
44.2924
0.0080
0.9985
0.6610
14
长叶片：ρ=71.84e0.007 φ
71.8378
0.0070
0.9974
0.5370
22
4.结论
（1）通过采用线性回归的方法，低比转速离心泵叶轮叶片型线方程可以拟合为式（10）的形式，为工程上的叶片型线研究带来了便利。
（2）与以往型线方程的求解方法比较，可以看出，该方法比较简单易掌握，通过描点测绘，用Excel里的函数计算，即可确定出该方程的各项系数，可操作性较强，为较准确的得到叶轮叶片型线方程提供了一种简便方法。
（3）由于得到叶片型线简化方程的原始数据较少，还需要用更多的数据来验证该方程的可行性。
参考文献： [1]关醒凡.现代泵技术手册[M].北京：宇航出版社，1995
[2]韩绿霞，宋怀俊.低比转数离心泵叶轮优化设计方法研究[J].水泵技术，2007（4）
[3]漆则轩，孙拥军.圆柱形叶片型线的数学表达式[J].水泵技术，1996（6）：23-26
[4]董志豪，钱志峰.三种圆柱形叶片型线方程比较[J].排灌机械，1998（1）：16-18
[5]《数学手册》编写组.数学手册[M].北京：高等教育出版社，1979：836-837
作者简介：侯远滨，辽宁省锦州市人，现工作单位为渤海船舶职业学院，主要研究方向为机械工程、轮机工程。