圆系方程的应用

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圆系方程的有关应用,主要是结合圆的方程的特点,巧妙化简二元二次方程组,使其计算简便. 现利用向量的有关知识对圆系方程予以证明,并举例说明圆系方程的应用.

三点共线定理:若A、B、P三点共线 存在t∈R,且t≠0,使得■=t■ 存在两实数α、β,且α+β=1,使得■=α■+β■.

圆系方程一:如图1,给定两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,且两圆交于A、B两点,则过两交点A、B的圆C3的方程式可以写成

α(x2+y2+D1x+E1y+F1)+β(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(其中α2+β2≠0).

由图1不难看到一个简单的几何性质:

凡过交点A、B的圆C■,它的圆心C3一定会与已知圆C1、C2的圆心C1、C3共线.

由■为各圆的公共弦知,这个性质显然是成立的. 若我们设O为原点,则

C1:x2+y2+A1x+B1y+F1=0 C1(-■,-■) ■=(-■,-■),且

C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 C2(-■,-■) ■=(-■,-■).

又C1,C2及C3三点共线,故■=α■+β■,其中α+β=1.

因此,■=α(-■,-■)+β(-■,-■)=(-■,-■)= (-■,-■)( α+β=1).

所以,圆心C■的坐标为(-■,-■).

于是,C3的圆方程式可设为

x2+y2+(■)x+(■)y+F=0(F为常数).

(α+β)x2+(α+β)y2+(αD1+βD2)x+(αE1+βE2)y+F(α+β)=0,

α(x2+y2+D1x+E1y)+β(x2+y2+D2x+E2y)+F(α+β)=0.(1)

由于交点A(x1,y1)在圆C1与C2上,必须满足方程式x21+y21+D1x1+E1y1+F1=0和x21+y21+D2x1+E2y1+F2=0,

又A点在圆C3上,满足(1)式,

α(x21+y21+D1x1+E1y1)+β(x21+y21+D2x1+E2y1)+F(α+β)=0.

三式联立得α(-F1)+β(-F2)+F(α+β)=0,

F=■. (同样,由B点也会得出相同结果)

代入(1)式,可得:

α(x2+y2+D1x+E1y)+β(x2+y2+D2x+E2y)+(αF1+βF2)=0,

α(x2+y2+D1x+E1y+F1)+β(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

因此,给定两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,且两圆交于A、B两点,我们可以得出过A,B两点的圆系方程为:

α(x2+y2+D1x+E1y+F1)+β(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

当α≠0时,我们还可以进一步改写成

(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.(3)

事实上,当λ=-1时,方程(3)表示过两圆公共点所在的直线L. 若我们再进一步推想:两圆相切时,过切点且与两圆都相切的圆也可以表示成两圆方程式的线性组合. 直线L可以看成圆心在无限远处,半径为无限大的圆. 因此,若考虑一圆与一线相交于两点时,则过两交点的圆也可以表示成圆方程式与直线方程式的线性组合.

圆系方程二:如图3,给定C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及直线L:D2x+E2y+F2=0,则过C1与L之交点A、B的圆C2该如何描述呢?

仔细想想,我们说直线L可以看成圆心在无限远处,半径为无限大的圆,由上述对圆系的说明,不难理解圆C2也可写成(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(D2x+E2y+F2)=0.此外,我们也可以利用向量加以证明.

如图4,因为L的法向量n=(D2,E2) 与■共线,

■=■+tn=(-■,-■)+t(D2,E2)

=(-■,-■)

=(-■,-■),(令λ=-2t),

C2(-■,-■).

所以,圆C2的方程式可表示为x2+y2+(D1+λD2)x+(E1+λE2)y+F=0(F为常数),

(x2+y2+D1x+E1y)+λ(D2x+E2y)+F=0. (2)

由于点A(x1,y1)在圆C1与直线L上,满足x21+y21+D1x1+E1y1+F1=0与D2x1+E2y1+F2=0. 又点A也在圆C2上,所以满足(2)式,于是

(x21+y21+D1x1+E1y1)+k(D2x1+E2y1)+F=0 F=F1+λF2.

整理(2)式,便可得到(x2+y2+D■x+E■y)+λ(D■x+E■y)+(F■+λF■)=0.

(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(D2x+E2y+F2)=0.

圆系方程三:直线可以看成圆心在无穷远处,半径为无穷大的圆,那么类似地也可以把点看成半径为零的圆――点圆,由此我们还可以进一步拓展圆系方程:与圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0相切于点C2(x0,y0)的圆C3的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(x-x0)2+(y-y0)]=0,其证明与第一种情况相同.

圆系方程四:若所求圆C2与直线L:D1x+E1y+F1=0相切于点C1(x0,y0)时,其方程可写成(x-x0)2+(y-y0)2+λ(D1x+E1y+F1)=0,此结论的证明方法与第二种情况相同.

在涉及到以上类型条件求圆的方程时,运用圆系方程解题,比其他方法通常要简单得多. 现举例如下:

例1 求过圆C1:x2+y2+4x-6y-3=0与圆C2:x2+y2-2x+2y-23=0的交点,且圆心在x+y+1=0上的圆方程式.

解 设所求之圆的方程式为

(x2+y2+4x-6y-3)+λ(x2+y2-2x+2y-23)=0.

(λ+1)x2+(λ+1)y2+(-2λ+4)x+(2λ-6)y+(-23λ-3)=0.①

圆心为(-■,-■)=(■,■).

又因为圆心在x+y+1=0上,

■+■+1=0 λ+2=0 λ=-2.

代入①得所求圆的方程为x2+y2-8x+10y-43=0.

例2 若C1:x2+y2-2x+6y-10=0与C2:x2+y2+2x+2y-6=0交于A、B两点,求以线段AB为直径的圆的方程.

解 由于所求圆过A、B两点且以AB为直径,故应为所有过A、B两点的圆中半径最小的情形.

设过A、B两点的圆为x2+y2-2x+6y-10+λ(x-y+1)=0,则

x2+y2+(λ-2)x+(6-λ)y+(λ-10)=0.

(x+■)2+(y+■)2=10-λ+(■)2+(■)2=■,得半径为■=■, 当λ=5时,半径有最小值.

故以AB为直径的圆的方程为x2+y2-2x+6y-10+5(x-y+1)=0,即x2+y2+3x+y-5=0.

例3 一圆过点A(1,2)与点B(3,4),且被x轴截得的弦长为6,试求此圆的方程.

解 以AB为直径的圆C方程为(x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)=0,即

x2+y2-4x-6y+11=0,而直线AB的方程为x-y+1=0,

由于所求的圆过圆C与AB的交点A、B,可设所求之圆的方程为

x2+y2-4x-6y+11+λ(x-y+1)=0.

令y=0 x2-4x+11+λ(x+1)=0 x2+(λ-4)x+11+λ=0.

设上式之两根为x1、x2,依题意,|x2-x1|=6. ①

又依根与系数的关系得x1+x2=4-λ,②

x1x2=11+λ.③

|x2-x1|=■=■=6 λ2-12λ-64=0,

解得λ=16或λ=-4.

(1)当λ=16时,所求之圆方程式为x2+y2-4x-6y+11+16(x-y+1)=0,即x2+y2+12x-22y+27=0.

(2)当λ=-4时,所求之圆方程式为x2+y2-4x-6y+11-4(x-y+1)=0,即x2+y2-8x-2y+7=0.

因此,所求圆的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.

例4 求与圆x2+y2-4x-8y+15=0相切于点P(3,6),且经过点Q(5,6)的圆的方程.

解法一 切点P(3,6)在已知圆上,将它视为“点圆”:(x-3)2+(y-6)2=0,

故建立圆系方程x2+y2-4x-8y+15+λ[(x-3)2+(y-6)2]=0,

将点Q(5,6)的坐标代入方程,解得λ=-2.

故所求的圆的方程是:x2+y2-8x-16y+75=0.

解法二 与圆相切于点P(3,6)的切线方程为:

3x+6y-2(x+3)-4(y+6)=15=0,即x+2y-15=0.

故可设所求的圆系方程为:x2+y2-4x-8y+15+λ(x+2y-15)=0.

把点Q(5,6)代入得λ=-4.

故所求圆的方程是x2+y2-8x-16y+75=0.

例5 已知圆C与直线l:2x+5y-7=0切于点C1(-4,3)且过点A(2,7),求圆C的方程.

解 可把点C1(-4,3)看成“点圆”:(x+4)2+(y-3)2=0,

故设圆C的方程为:

(x+4)2+(y-3)2+λ(2x+5y-7)=0.①

把A(2,7)代入方程①解得λ=-■.

所求圆的方程是8x2+8y2+38x-113y+291=0.