整体性视野下的数学竖式教学浅探

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在小学阶段，符合数学学科特征和学生认知规律的数学知识分散呈现在各个章节，然而由于部分教师对知识整体把握的意识不强，对内容处理的能力较低，不能很好地把握教材的基本要求和内容安排，使得学生所学的内容缺少实质性联系，影响了学生数学素养的提升与思维能力的进一步发展。小学数学教学中的竖式计算是一个很重要的学习内容，但分散在每个学段的教材之中，这就需要我们跳出单册竖式教学框架，以整体的视野来建立各册竖式之间的本质联系和结构关联，帮助学生在更高层次上认识数学，提升数学素养。

一、竖式教学的“窄化”现象

现象一：环节前后“脱节”。三年级下册《乘法》单元第一课时《两位数乘以两位数》，内容是让学生通过列横式分步计算，然后出现竖式，接着让学生探索竖式每一步的意义，得到结果。一些教师把分步算法与列竖式孤立开来，重点教学竖式的格式、算法，忽视列竖式的基础、每一步的意义，忽视竖式形成的过程，致使学生把解决此问题的理解定位于“用竖式计算”。

现象二：竖式算理“忽略”。三年级上册《除法》单元第一课时《两位数除以一位数》，内容是让学生通过情境图“4筒加6个羽毛球共46个，平均分给两个班，每个班分得几个？”进行计算，一些教师注重了竖式计算的算法，忽略了具体的算理：为什么先用最高位去除？竖式中第一步获得的“4”表示什么意思？整个竖式里，出现了两个“4”和3个“6”，分别是什么意思？使得学生只会计算结果，而对每一步的意义不甚了解。

现象三：教材意图“不解”。二年级下册《有余数的除法》单元第二课时《两位数除以一位数》：妈妈买了12个苹果，每4个放一盘，可以放几盘？如果每5个一盘呢？教材中创设了分苹果的情境，先安排学生分一分，通过口算算出结果，接着介绍了竖式的方法，再通过类比教学有余数的除法。有些老师孤立地进行竖式算法的教学，无视教材的编写意图，脱离了具体的教学情境。其实这里是第一次出现除法竖式，对竖式的算理、求商的方法，学生的学习是有困难的。我们要让学生在具体的操作活动中，依托除法的竖式，通过类比推理学习和理解有余数的除法的计算方法，帮助他们体会除法的算理和算法，进一步加深对除法含义的理解。

纵观以上常见的课堂教学现象，可以归纳为两类问题。

第一是教师对知识点教学的“孤化”。由于数学的知识分散在每一册、每一个单元中，一些教师往往将知识和技能分解成若干个知识点和能力点，再围绕这些“点”进行强化训练，最终留给学生的很可能就是几个符号、算式，数学本身的意义也简单化地变成了题目的计算和应用。竖式计算这个知识点分散在每册中，但都不是单独存在的，它的准确性、形象性、生动性能够从整体的结构关系中表现出来，如果教学中仅关注竖式计算，很容易导致竖式教学的“孤化”，影响了学生对整个竖式体系的理解。

第二是教师对学科结构整体把握能力薄弱。或许是对教材体系不熟悉，或许是缺少整体建构的意识，或许是对竖式的理解不够深入，一些教师重视单类竖式的教学，忽略所教内容的基础和结构位置，导致了所学新知未纳入学生的知识理解体系中，支离破碎，学生很快就遗忘了。语文教学中倡导“字不离词、词不离句、句不离篇”，竖式教学也要对新知进行“整体感知―局部研读―整体把握”，充分考虑整体与所学新知的关系，从竖式的整体网络上思考，在竖式的整个单元中体会，才能帮助学生整体地把握竖式的本质。

二、赋予竖式计算的现实意义

1.整体把握内容标准

数学教材根据学生的学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排学习内容，形成了比较严谨的编排体系，教师要基于数学学科知识之间的逻辑关系，理清数学学科内在的知识结构，培养学生思维的正向迁移能力，使学生能够用综合的眼光去发现问题、认识问题和解决问题。

2.突出单元整体设计

数学教材内容的编排是以单元结构形式呈现的。教材将有内在联系的、具有共同主题的内容构成一个整体，并且根据学生的认知规律，由浅入深、由易到难地进行编排。计算单元内容编排一般结合口算、估算、竖式笔算、混合运算及解决问题综合编排，竖式作为其中的重要部分与其他内容相辅相成。教学时我们要将一个单元当作一个整体进行思考，优化组合，整体设计，以整体渐进的方式推进教学。

下面以五年级上册“小数乘除法”单元为例，进行说明。

（1）整体思考单元体系。系统论强调：“整体大于部分之和。”教学单元是相互联系的若干要素按一定的方式组成的统一整体，其规模的大小是不同的，并且是有层次的。在以竖式计算为主的单元中，竖式教学的顺序有着较强的逻辑性，这就需要我们在教学前进行单元整体解读，以此感知本单元的学习内容，理清单元的知识结构。“小数乘除法”单元分五段：第一段学习小数乘整数的计算方法，探索小数点移动规律；第二段学数是整数的小数除法，探索小数点移动规律；第三段学习小数乘小数，求积的近似值；第四段学数是小数的除法，求商的近似值；第五段学习小数四则混合运算。五段教学后安排整理与练习。

（2）整体设置单元目标。单元教学的整体性是指在教学过程中要综观整个单元教材的教学目标，厘清知识内容，明确各知识点、数学方法之间的内在联系，弄清教学的重难点，使教学形成整体结构。如“小数乘除法”这一单元，我们要系统理解编排意图：一是在情境中学习，让学生联系整数乘、除法的意义理解小数乘除法的运算意义。二是明白小数乘除法混合分段编排特点，便于学生根据不同学习内容选择合适的学习方式。三是由易到难安排教学层次，突破教学难点。教学中安排的例题都是帮助学生在掌握基本方法的基础上，逐步突破难点的，所以每个知识点的掌握程度直接影响到下个知识的学习，知识点前后关系紧密。整体把握单元目标，既要考虑小数乘除法的知识基础和后续学习作用，又要考虑本单元螺旋上升的教材编排体系，还要考虑学生学习能力的持续发展，只有这样设置的单元目标才能真正体现出整体性。

（3）整体进行单元回顾。学生学完一个单元后，要引导学生进行整体回顾，这样在学习过程中能进一步构建知识体系，强化所发现的数学方法和数学规律，拓展认识。如“小数乘除法”单元，内容比较多，且难度较大，所以在单元复习时，可以围绕小数乘、除法计算的关键环节，让学生讨论“小数乘、除法的计算与整数乘、除法有什么联系？”“怎样确定积的小数位数？”“怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法？”三个问题，让学生体会到：小数乘除法与整数乘除法有着密切的联系，都可以转化成整数的乘除法来计算，只不过需要另外考虑积或商的小数点位置，帮助学生进一步体会竖式计算的内在联系，体会“转化”这一数学思想方法的应用价值。

3.整体研析编写意图

数学教材是教师实现教学目标，开展教学活动的主要载体，也是师生共有的重要教学资源。每个教学例题都是根据课程标准精心挑选和设计的，所以例题中的每一个信息、图例都不能忽略，竖式教学的例题也是如此。教师要领会教材编撰意图，深刻把握教材本质，让竖式不再“孤独”。

（1）直观操作，提升感知。在数学学习中，直观操作能有效推动内在的思维，有利于把具体的感知上升为理性的认识。教材依据学生的认知特点，在三年级上册前的竖式计算都安排了直观操作，目的是通过有序的操作，帮助学生理解竖式的结构和计算过程。如二年级下册的“有余数除法”，教材创设了把12个苹果每5个放一盘的问题情境，引导学生通过在图上圈一圈的操作，解决了平均分的问题，并告诉学生“有余数的除法也可以用竖式计算”。具体的操作活动，有利于他们体会有余数除法的算理和算法，进一步加深对除法含义的理解。

（2）凸显过程，丰富认识。竖式教学的教材编写非常关注学生数学知识的形成过程，我们在教学中要注重将操作过程、计算过程和算式书写过程有机结合起来，以帮助学生更好地理解每一步算式的含义。

一是整合操作计算。如三年级上册“两位数除以一位数”，教材呈现“用小棒代替羽毛球分一分”的操作过程以及口算计算的方法，在此基础上，让学生用竖式表达分的过程和结果，并提示结果书写的位置。这样的操作过程和口算的方法，不仅能够帮助学生解决问题，而且赋予程序化的竖式计算以现实的意义。

二是分步理解算理。如三年级下册“两位数乘两位数”，在学生自主探索的基础上，教材依次呈现了三个虚线框内容，又进一步抽象为一般写法，这样不仅让学生清楚了每一步结果是如何得到的，而且明晰了每一步的计算结果所表示的实际意义。

三是突出差错转化。如五年级上册的“小数加减法”，教材在出示情境图后，让学生联系已有的知识经验，独立用竖式计算，然后进行差错对比交流。通过对竖式书写形式的比较和小数意义的分析，让学生一下子明白了只有相同计数单位才能相加，从而更好地体会小数点对齐就能使相同数位上的数对齐这一意义。

四是展现推理过程。如五年级上册的“小数乘小数”，学生已经具有将小数乘法转化为整数乘法进行计算的初步经验，教材先引导学生进行估算，为笔算提供了支持。接着教材提出问题，乘得的积发生了怎样的变化？怎样得到原来的积？通过竖式旁给出的形象的推理过程，帮助学生借助直观认识并理解了算法。

（3）借助素材，支撑理解。随着学生年龄的增长和生活经验的丰富，教材从三年级下册开始，选取了更多的学习素材来激发学生已有的生活经验，用生活经验支撑对竖式计算解法的理解。如三年级下册的“两位数乘两位数”，通过“每箱南瓜24个，运来12箱，一共有多少个？”这个生活中的素材，启发学生可以分别算出10箱和2箱的个数，再把两次算出的结果相加，相机列出竖式，解释每一步的意思，这样就比较容易地让学生理解了竖式的算理和算法。

（4）理清算理，生长经验。在学生获得大量计算活动经验后，教材在内容编排上更加重视让学生对计算法则进行归纳和总结，培养学生的归纳推理能力。如三年级上册“三位数除以一位数”，在让学生尝试三位数除以一位数后，教材引导学生总结两、三位数除以一位数的计算方法，回顾学过的除法，引导学生交流并进行概括，使学生对两、三位数除以一位数的计算方法有了整体的理解。

竖式计算的学习需要学生经历较长的认识过程才能逐步理解和掌握，我们要用整体系统的观点，关注竖式的形成过程，引领学生在理解算理的基础上掌握算法，从更深的层面认识和开发竖式这一知识的内在联系，建立起网络状的竖式知识结构，进一步提升学生的数学素养。

（过晓伟，无锡市云林实验小学，214102）