例析平面几何中最值问题的解法

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与平几有关的最值问题是中考题和数学竞赛题中的常见题型.此类问题涉及的知识面广、综合性强，解法颇具技巧性.本文结合近几年的中考题和竞赛题介绍几种常用解法，供参考.

一、利用图形的变换

例1 （2006年河南中考题）如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是.

解析：如图2，以AB所在的直线将ABC翻折得ABF.

又因为AC=BC，∠ACB=90°，

所以四边形ACBF是正方形.

连结DF交AB于E′，连结CE′.

因为点C、点F关于AB对称，

所以CE′=FE′.

又因为两点之间线段最短，所以线段FD的长即为EC+ED的最小值.

此时，FD=BD2+BF2

=12+22=5.

评注：此类问题的解法是利用图形的轴对称变换，把两条线段和的问题转化为求某一条线段的长度问题，从而使问题获解.

二、利用图形中的不变量

例2 （2001年山东省初中数学竞赛题）如图3，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则线段CD的长度的最小值是（ ）

（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 5（5-1）

解析：如图4，过C作CEAP于E，过D作DFPB于F，过D作DGCE于G.

显然DG=EF=12AB=5，CD≥DG.当P为AB中点时，有CD=DG=5，所以CD长度的最小值为5，故选（B）.

评注：本题利用了图形中的不变量DG=EF=12AB=5，又因CD≥DG，于是问题获解.

三、利用基本不等式

例3 （2002年天津中考题）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若SAOB=4，SCOD=9，则四边形ABCD的面积S的最小值为（ ）

（A） 21 （B） 25 （C） 26 （D） 36

解析：如图5，设SAOD=x，SBOC=y，则

S=13+x+y.

由同高的两个三角形面积之比等于对应底边之比，得

SAOD∶SAOB=SCOD∶SBOC，

所以 x∶4=9∶y，

所以 xy=36，

所以 S=x+y+13

≥2xy+13

=25.

所以S的最小值为25，故选（B）.

评注：此类问题通过挖掘题中的隐含条件，利用 a+b≥2ab（a≥0，b≥0）这个基本不等式，求出其最小值.

四、利用根的判别式

例4 （2000年山东省初中数学竞赛题）已知矩形A的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于 k，求 k 的最小值.

解析：设矩形B的边长分别为 x、y，据题意得：

x+y=k（a+b），xy=kab.

所以 x、y 可看作一元二次方程 m2-k（a+b）m+kab=0的两个实数根.

则Δ=k2（a+b）2-4kab≥0.

因为 k＞0，

所以 k（a+b）2-4ab≥0，

所以 k≥4ab（a+b）2.

又因为 k（a+b）＞0，kab＞0，

所以 x＞0，y＞0，

所以 k 的最小值为4ab（a+b）2.

评注：解决此类题的一般思路是，由题设找出图形中两线段之和与积的关系，构造出一元二次方程，再结合判别式求出最值.

五、利用函数性质

例5 （2007年南充市中考题）如图6，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动.

（1）设ND的长为 x，用 x 表示出点N到AB的距离，并写出 x 的取值范围；

（2）当五边形BCDNM的面积最小时，请判断AMN的形状.

解：（1）如图7，过点N作NPBA，交BA的延长线于P.

由已知得：

AM=ND=x，AN=20-x.

因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠C=30°，

所以∠D=∠C，∠PAN=∠D，

所以∠PAN=30°.

在RtAPN中，PN=12（20-x）.

即点N到AB的距离为12（20-x）.

因为点N在AD上，AD=20，

所以0≤x≤20.

又点M在AB上，AD=15，

所以0≤x≤15，

所以 x 的取值范围是0≤x≤15.

（2）据（1）得：SAMN=12AM・NP

=14x（20-x）

=-14x2+5x.

所以当 x=-52×（-14）=10时，

SAMN有最大值.

又因为S五边形BCDNM=S梯形ABCD-SAMN，且S梯形ABCD为定值.

所以当 x=10时，S五边形BCDNM有最小值.

当 x=10时，有ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN.

所以当五边形BCDNM的面积最小时，AMN为等腰三角形.

评注：由上例可看出，此类问题的一般解法是，建立几何量之间的函数关系，将几何最值问题转化为二次函数的最值问题，充分体现了转化的数学思想.

（初三）

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