浅谈利用导数解决函数的几个问题

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函数和导数的结合是高考的一个热门问题,而导数又是研究函数的一个工具,现在我通过2008年的高考题来简单谈谈利用导数来解决函数的几个问题

一、通过导数来解决函数极值、极值点、最值等问题,这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题。解决极值,极值点问题转化为研究函数的单调性;参数的取值范围转化为解不等式的问题;有时需要借助于方程的理论来解决,同时考查了学生综合应用数学知识解决问题的能力。

中一个是x = -c。

(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点;

(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围.

f ' (-c) = 0 即得c2 k-2c-ck=0 c>0 ck-2-k=0 由此可知k≠0,

c>0且c≠1 ,则图象如图所示,

k0,

①当k

②当k>0,即c>1时,当x1时,f ' (x)

二、通过导数解决函数决单调性问题,参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题;求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立问题来求解,进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上(或实数集 )上的恒成立问题来解决,同时考查学生综合分析和解决问题的能力。

【例2】(2008年,全国I卷)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;

解析:(Ⅰ)f'(x)=3x2+2ax+1,导函数是二次函数,开口向上,=4(a2-3),下面讨论方程f'(x)=0根的情况。分>0,

当xx2时,f'(x)>0,当x1

数,在(x1,x2)上为减函数。

a+1≤0解之得a≥2满足条件,所以实数a的取值范围是[2,+∞)。

三、利用导数解决函数极值,最值等问题。求极值的过程就是讨论函数单调性及解含参数的不等式问题;通过构造函数,以导数为工具,证明不等式,从而考查了学生运用数学知识建立简单数学模型并解决实际问题的能力。

(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1。

上为减函数,f(x)无极值。

②当a

③当a>0时,由f'(x)=0,即ax2-2ax+a-2=0,判别式>0,方程ax2-2ax+a-2=0有两个不同实根,解之f(x)无极值。

故只需证明1+ln(x-1)≤x-1即可,下面直接作差构造函数证明:

令 h(x)=x-1-(1+ln(x-1))=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞)

因此当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.

四、利用导数的几何意义,解决求函数的解析式、参数值、极值、切线方程,单调性及切线方程有关的问题,此类问题求单调性的过程就是解一元二次不等式和高次不等式的问题。从而达到考查化归与转化的数学思想。

【例4】(2008年,重庆卷)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴。

(Ⅰ)用a分别表示b和c;

(Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.

解析:(Ⅰ)由已知f(0)=2a+3,即c=2a+3

f'(x)=2ax+b,依题意f'(-1)=0,即-2a+b=0,b=2a

g'(x)

由此可见,函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2),(2,+∞),单调递增区间为(-2,2)

通过以上分析可知:在学习中要明确导数是研究函数一种重要工具,应用导数求函数的单调区间,或判定函数的单调性;应用导数求函数的最大值最小值,以及应用导数解决实际问题等以解答题为主,此类问题应延伸到实际应用中,要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握求导数的方法,应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型,了解导数概念的某些实际背景。