六维分数阶Lorenz?duffing系统仿真
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摘 要： 设计一个混沌行为复杂且具有物理学特性的整数阶混沌系统很难。为了解决这个问题，在整数阶混沌系统中引入了分数阶微分算子，并设计了一个六维分数阶lorenz?duffing混沌系统；还重点分析了该分数阶混沌系统的平衡点和稳定性以及系统的吸引子、分岔图和Lyapunov指数谱；最后，设计该分数阶混沌电路，并利用Multisim软件仿真分析了该电路。仿真结果表明，该分数阶混沌系统能够产生混沌信号。
关键词： 分数阶系统； Lorenz?duffing系统； Lyapunov 指数； 电路仿真
中图分类号： TN911?34； TN401 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）12?0022?06
Abstract： It is difficult to design an integer order chaotic system with complex chaotic behaviors and physical properties. In this paper， a six?dimensional fractional order Lorenz?duffing chaotic system is designed to solve this problem. The system introduces the fractional order differential operator into the integer order chaotic system. In addition， the equilibrium points and stability of the fractional order chaotic system， and its attractors， bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum are analyzed in detail. Finally， the fractional order chaotic circuit is designed， and the circuit is simulated and analyzed with Multisim software. The simulation results show that the designed fractional order chaotic system can generate chaotic signals.
Keywords： fractional?order system； Lorenz?duffing system； lyapunov exponent； circuit simulation
0 引 言
计算机技术和网络技术的飞速发展使得人们能够更快捷方便地存储与分享各类信息。其中多媒体信息由于其特有的形象和生动的特性逐步成为互联网时代最重要的信息载体之一[1]。但是互联网存在开放包容、任何人都可以自由接入网络的特点，所以近年来发生了一系列的信息泄密事件。这些信息泄密事件使人们意识到信息在互联网中安全传输的重要性。保密通信是保证信息安全传输的最主要策略，数据加密技术是抵抗非法攻击和非法使用的重要手段[2]。常用的数据加密技术有传统加密技术和混沌加密技术。由于多媒体信息，如图像具有高冗余度、大数据量、像素间相关性强等特点，所以采用传统数据加密技术，如分组加密，对多媒体信息进行加密将不再有效[3]。混沌系统因为具有遍历性、对初值和控制参数敏感、伪随机性和长期不可预测性等优良的密码学特性，所以正被广泛地应用于互联网的保密通信中[4]。
研究者也因此设计了多种混沌模型，例如，Lorenz最早设计了一个研究混沌的经典模型，即Lorenz混沌模型，该模型由三个常微分方程构成[5]。陈关荣等在Lorenz系统的基础上发现了一个新的可以产生混沌行为的常微分方程组，Chen系统[6]。但是，这两个混沌模型存在一定的局限性，当且仅当该模型微分方程中的一组参数取得特定值时，该模型才能呈现混沌行为。在Lorenz混沌系统的基础上，后面的学者又相继设计了多种具有丰富混沌动力学行为的著名混沌系统。如分别源于物理学和电子工程理论的连续动力学系统，R?ssler系统[7]和Chua′s电路[8]，以及源于生物学的离散动力学系统，Logistic映射[9]。氖学式上看Logistic映射只是一个简单的差分方程，但是该混沌映射可以产生极其复杂的动力学行为。当前，该混沌映射在保密通信领域有着十分广泛的应用。尽管上述混沌系统的出现推动了混沌系统理论的发展，且有着较复杂的混沌动力学行为，但是他们都属于整数阶混沌系统，这种整数阶的混沌系统不符合实际的物理特性。
近年来，研究者发现，许多混沌系统都展现出了分数阶特性的动力学行为，且与整数阶混沌系统相比，分数阶混沌系统有着更加复杂的动力学特性，更加符合工程应用的实际情况；因此，在整数阶混沌系统的基础上，研究者设计了一系列的分数阶混沌系统。例如，分数阶低至2.7的分数阶Chua系统[10]、分数阶低至2.97的Lorenz系统[11]、分数阶低至2.1的Chen系统[12]中都存在混沌行为。在过去的研究中还发现，分数阶低至2.4的R?ssler系统以及分数阶低至3.8的超混沌R?ssler系统中也可以发现混沌吸引子[13]。
随着分数阶混沌系统的分数阶数值的不同，该系统会呈现出不同的状态，而且同一个分数阶系统呈现混沌的分数阶的取值不是固定的而是在一个范围内；因此，与整数阶混沌系统相比，这种分数阶系统的混沌行为更加复杂，更不易被复制。但是上述分数阶系统的低维较低，利用这些低维混沌系统生成的混沌序列的密钥空间还有待进一步提高。为了解决这个问题，文献[14]提出了一个三维分数阶混沌系统，与Lorenz和Chen等混沌系统相比，该系统有更多的非线性项，而且增加的非线性乘积项带有较大的权重系数，且代数结构也发生了变化，因此该混沌系统得到了更加复杂的分叉、混沌行为。尽管该系统得到了较大的Lyapunov指数和更复杂的动力学行为，但是该分数阶混沌系统的维度不够高。
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