与自然数n有关的不等式的几种证明方法

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含n的不等式的证明是历届考生的一个难点,也是高考的一个重点。山东近几年的高考题对这方面都有涉及,以数列为载体的不等式证明档次更高,对学生的要求也更高。因此考生对这类题目比较头疼,害怕见到这类题目,对这类题甚至不知所措,无从下手。根据平时的积累归纳了几种常用的解决方法,如:数学归纳法、数列的单调性、构造新数列法、放缩法等。

一、数学归纳法

数学归纳法是数学上证明与自然数n有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立、不等式成立和数列通项公式成立。

方法分析:用数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时,关键在于弄清两点:(1)弄清式子两边的构成规律,如式子两边各有多少项,由1到k时,式子的两边会增加多少项;(2)寻找式子中n=k和n=k+1时之间的联系,在寻求它们的联系时可用放缩法或分析法证明,上面从n=k到n=k+1就是用放缩法证明的。

二、利用数列的单调性

对于有关自然数n的不等式A(n)≥B(n),若能巧妙地构造一个单调数列,利用单调性来证明所给不等式比较方便,也容易被学生掌握。在具体证题时,我们可先构造一个数列xn,使xn=A(n)-B(n),或者xn=A(n)/B(n),然后证明所构造的数列xn是单调递增(或递减)的,最后利用单调性得出要证的不等式。

方法分析:要使xn>0或xn>1成立,本质上只需xn的最小(大)值大于0或1即可,因此我们把不等式恒成立问题转化为求数列的最值问题,进而需要判断xn的单调性。

三、构造数列

当不等式是n项的“和式”和“积式”时我们常用的方法是裂项法,即此法对于A(n)或B(n)是诸项之和或是诸项之积的形式解决时较为方便。

方法分析:当证明的不等式一端为n个式子的和(积)的形式而另一端为一个或两个含n的式子时,如sn>f(n)我们就把f(n)拆为某个数列的前n项和(积)的形式,接下来只要比较两个数列的通项的大小即可。

四、放缩法

放缩法比其他证明方法对学生的知识积累和应变能力要求更高,要求学生有足够的知识去猜测、去想象,放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。

作者单位:山东省无棣县第二高级中学