再谈高考数学圆锥曲线题中的“坐标处理”

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解析几何在高考题中占有30分左右的比重.其中直线与圆往往可以根据垂径定理和圆心到直线的距离与半径的关系求解.而圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线，一般只能通过坐标进行运算.高考题中有填空和解答，从近几年江苏和其它省份高考题来看，圆锥曲线一般出现在中档题和难题之间，学生圆锥曲线题回答得好坏，直接影响到整卷的答题.本文就近几年高考题中出现的圆锥曲线题进行研究分析，问题最终都归结到坐标的处理.主要有二种：第一，联立方程组解出坐标；第二，联立方程组结合韦达定理.

题型一联立方程组解出坐标

例1（2011年江苏卷）如图1，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k,

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PAPB.

分析（1）（2）两个具体的直线和点比较简单，第三问因为直线的斜率k不知道，所以坐标含有参数，计算量有点大.但是完全可以通过解方程组用k来表示所有的点的坐标.

解（1）M(-2,0),N(0,-2),M、N的中点坐标为(-1,-22),所以k=22 .

（2）由y=2x

x2+2y2=4得P(23,43)，A(-23,-43)，

C(23,0),AC方程：

y-43=x-23-23-23.即y=x-23.

所以点P到直线AB的距离d=|23-43-23|2=223.

（3）由y=kx

x2+2y2=4可知(1+2k2)x2=4.

所以A(-21+2k2,-2k1+2k2),P(

21+2k2,2k1+2k2),C(21+2k2,0),所以kAC=k2，所以y=k2(x-21+2k2).

所以(1+k22)x2-2k21+2k2x+2k21+2k2-4=0,

所以xB=3k2+2(1+k22)1+2k2,yB=

k3(1+k22)1+2k2

所以kPB=2k1+2k2-k3(1+k22)1+2k2

2k1+2k2-3k2+2(1+k22)1+2k2

=2k(1+k22)k32(1+k22)-3k2-2=-1k,

所以 PAPB.

题型二联立方程组结合韦达定理

例2（2012年江苏卷19题）如图2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c ,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

（)若AF1-BF2=62,求直线AF1的斜率；

（）求证:PF1+PF2是定值.

分析第一问比较容易上手，第二问对学生来讲比较困难，理解题意不难，但是运算量大，学生不敢往下算，其实参考答案的方法学生理解比较吃力，特别是（），因此我利用求轨迹方程的方法重新进行了研究，其实可以求出P点的轨迹方程问题同样得到解决.

解（1）因为点(1,e)和(e,32)都在椭圆上,

所以1a2+e2b2=1,

e2a2+(32)2b2=1.①

又因为a2=b2+c2,e=ca,②

将②式代入①式得a2=2,

b2=1,则椭圆的方程为x22+y2=1.

（2）延长AF1交椭圆于点B′，由椭圆的第二定义可知AC=2(AF1-B′F1).

（）当k不存在时，舍.

设AB直线方程为y=k(x+1)，

则AC=2(AF1-B′F1)=3，所以xA-xB=3.

由y=k(x+1),

x22+y2=1

可知，x2+2k2(x2+2x+1)=2.

所以xA+xB=-4k21+2k2,xA・xB=2k2-21+2k2,所以

xA-xB=16k4(1+2k2)2-4(2k2-2)1+2k2=8+8k2(1+2k2)2=3，

所以k=22.

（）设A(xA,xB),B′(xB,xB),P(x,y),AF1∶B′F1=λ