探索型问题

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【摘要】 对于探索某一个量最大、最小的问题，利用函数思想是首选的方法，可以设置适当的变量，所求的量用它来表示，从而用函数的最大最小来求。这种问题在近几年各地的中考题目中出现较多。利用函数关系式求最值问题，在生活实际中有着广泛的应用，诸如周长最小，面积最大材料最省，效益最好等等，往往可以通过建立适当的函数关系式，通过求函数的最值来解决。

【关键词】 数学；探索型问题；例题；精讲

1 内容综述：

1.1 探索型问题分类

（1） 结论探索型问题：一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题中往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。

（2） 条件探索型问题：条件探索型问题，一般是由给定的结论反思探索命题，应具备的条件。

1.2 探索存在型问题解决法解决方法：

(1) 直接解法：从已知条件出发，推导出所要求的结论。

(2) 假设求解法：假设某一命题成立――相等或矛盾，通过推导得出相反的结论。

(3) 寻求模型法。

2 例题精讲：

例1.如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°

(1)操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果。

(2)探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形(即能否有EF2=AE2+BF2)？如果能，试加以证明。

分析：操作、观察不是重点，探索、猜测才是整个题目的重点，是难点，也就是说，从操作中获取信息是探索问题的过程中最重要的。

(1)中只须旋转∠ECF中用刻度尺量一量或观察，即可得到。

(2)要判断EF2=AE2+EF2，思路是把AE、EF、FB搬到一个三角形中，通常用平移、翻折、旋转等方法，此题目用翻折的方法，出现和线段AE、BF相等的线段，并且和EF在一个三角形中。

解：(1)观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在?ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF。

(2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：

例2.(北京朝阳区，最后一题)如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草。

(1) 请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明。

(2) 要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长。

(3) 请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法。

(4) 你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？

例3.某房地产公司要在一块地(图中矩形ABCD)上规划建造一个小区公园(矩形GHCK)，为了使文物保护区ΔAEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m。

(1) 求矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，公园的面积。

(2) 当G在EF上什么位置时，公园面积最大？

分析：第一问比较容易，求出矩形GHCK的长和宽，注意利用ΔAEF的条件。

第二问是个探索性的问题，求面积的最大值，常用的办法是将面积表示成长(或者宽)的函数。

说明：对于探索某一个量最大、最小的问题，利用函数思想是首选的方法，可以设置适当的变量，所求的量用它来表示，从而用函数的最大最小来求。

例4.某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？(已知：sin53°≈0.80, sin37°≈0.60, tan37°≈0.75)(福州)

说明：这种问题在近几年各地的中考题目中出现较多。

要求：①要能准确画出辅助方位图；②完成从实际问题到几何模型的转化，转成解直角三角形的问题。

例5.有一批货，如果月初售出，可获利1000元，并可得本利和再去投资，到月末获利1.5%；如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费，请问这批货在月初还是月末售出好？

解：设这批货成本为a元，月初出售到月末可获利润

P1=1000+(a+1000)×1.5%=0.015a+1015

月末出售可获利润P2=1200-50=1150元

P1-P2=0.015(a-9000)

故为a>9000时，月初出售好；

当a=9000时，月初，月末出售相同；

当a

例6.某水库的闸板如图所示，它的形状是由一个半圆和一个矩形组合而成，为了周围封得好，周长应尽可能小，但为了使水的流量越大越好，希望面积尽可能地大，问当周长一定时半圆半径r和矩形高度h应怎样取才好呢？

分析：在周长一定的条件下，面积的大小即与r有关又与h有关，即S是r和h的函数，在含两个自变量的函数关系式中，通常由一个变量表示另一个，转化为含一个的再求最值。

说明：利用函数关系式求最值问题，在生活实际中有着广泛的应用，诸如周长最小，面积最大材料最省，效益最好等等，往往可以通过建立适当的函数关系式，通过求函数的最值来解决。

收稿日期：2008-3-22