矩阵的特征值与特征向量的应用探讨

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【摘 要】本文在学习了特征值和特征向量基本性质的基础上初步探究了特征值与特征向量在判断线性变换可对角化的应用、矩阵特征值反问题的求解中的应用、在n阶矩阵的高次幂求解中的应用、在行列式计算中的应用.

【关键词】特征值 特征向量 线性变换 对角化

一、矩阵的特征值与特征向量的定义及性质

1.设是数域上的一个阶方阵，若存在一个数以及一个非零维列向量，使得

则称是矩阵的一个特征值，向量称为矩阵关于特征值的特征向量.

2.一般矩阵的特征值与特征向量的性质

定理1 设为阶矩阵，则与有相同的特征值；

定理2 设为方阵的个特征值，则有下面结论成立：

（1）（方阵的迹）；

（2）.

由此定理可得下面的推论.

推论阶方阵可逆的充要条件是不为的特征值.

定理3 设为方阵的个互异的特征值，为与之依次对应的特征向量，则线性无关.

定理4 若是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，则

（1）是的特征值（是自然数）；

（2）是的特征值；

（3）当为可逆时，是的特征值.

按以上定理类推可知，若是矩阵的特征值，且是关于矩阵的多项式，那么有 是矩阵的特征值.

二、矩阵的特征值与特征向量的应用：特征值与特征向量在判断线性变换可对角化中的应用

设是维线性空间上的一个线性变换，则A可对角化，即

A有个线性无关的特征向量

中存在由A的特征向量组成的一组基

A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于

=

其中A是线性变换在中一组基下的矩阵，是A的所有不同特征值，

.

总语：本文利用特征值与特征向量的一些理论和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，针对n阶矩阵的特征值和特征向量的应用做了4方面的初步探讨，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）.高等教育出版社，2010.05.

[2]徐仲、陆全等.高等代数导教.导学.导考.西北工业大学出版社.2004.03.

作者简介：伍云河、王庆虎 、高阳均为西北民族大学本科在读学生。